PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE VIII

est algébriquement divisible par

On aura, par conséquent,

et, par suite,

(4) U5{œ) = {a- — «0— SoV^— i)(j? — ai— 6i v^— i)(a? — (X2—&i\/—i)Qi,

Qa désignant encore une fonction imaginaire et entière de la variable X, En continuant de la même manière, on finira par reconnaître que, dans le cas où la fonction entière zj(x) s'évanouit pour n valeurs différentes de x, respectivement désignées par

oco+^oy/— I, ai -h Si y/— 1, cc,+ S-^s/-— i , ..., a«, -f- 6„i y''— i »

on a nécessairement

5 ) js{x) = {œ~ oco— êo y/— I ) (^ — ai— ê, \/— i) (œ — cc^ — B^^^ — i). ..{x — a«i — S„i y/— i ) Q,

Q désignant une nouvelle fonction entière de la variable x.

Il est à peu près inutile d'observer que le théorème précédent subsiste lorsqu'on suppose

OU bien

c'est-à-dire lorsque la fonction usÇx) ou les valeurs particulières attribuées à la variable œ deviennent réelles.

A l'aide des principes établis dans ce paragraphe, on démontrera sans difficulté que, dans le Chapitre IV (§ I), les théorèmes III et IV, avec la formule (i), peuvent être étendus au cas où les fonctions et les variables deviennent imaginaires, ainsi que les valeurs particulières attribuées aux unes et aux autres. On prouvera de même que les propositions I, II et III, avec les formules (i) et (2), dans le § 11 du Chapitre IV, et les formules (2), (3), (4), (5), (6) dans le § III du même Chapitre, subsistent quelles que soient les valeurs réelles ou imagi-

naires des variables, des fonctions et des constantes. Ainsi, par exemple, on reconnaîtra, en particulier, que l'équation (G) du § III, savoir

1 i .-2.6 . . .{n — I ) j . 2 . 3 . . . « a lieu pour des valeurs imaginaires quelconques des variables x et j.

§ V. — Détermination des fonctions imaginaires continues d'une seule variable propres à vérifier certaines conditions.

Soit

une fonction imaginaire continue de la variable x, o{x) eiy(x) désignant deux fonctions continues, mais réelles. La fonction imaginaire n{x) sera complètement déterminée, si elle est assujettie à vérifier, pour toutes les valeurs réelles possibles des variables x et j, l'une des équations

(i) cT(^+y)=:nT(^)-4-nT(7),

(2) Tn{x-{-y) = rn{x)XTn{y),

OU bien, pour toutes les valeurs réelles et positives des mêmes variables, l'une des équations suivantes :

(3) ro{xf)z=sTn{x)^T^iy),

(4) 5j(^/)=rm(x) xct(/).

Nous allons résoudre successivement ces quatre équations, ce qui nous fournira quatre problèmes analogues à ceux que nous avons déjà traités dans le § I du Chapitre V.

Problème I. — Déterminer la fonction imaginaire t:s(x) de manière qu'elle reste continue entre deux limites réelles quelconques de la va-