PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE VIII

riahle x, et que l'on ait, pour toutes les valeurs réelles des variables x et y,

(i) m{x^y) — r;^{œ)-Arm{y).

Solution. — Si, à l'aide de la formule

on remplace dans l'équation (i) la fonction imaginaire ct par les fonctions réelles o et y, cette équation deviendra

puis l'on en conclura, en égalant de part et d'autre les parties réelles et les coefficients de \j — i ,

On tirera de ces dernières formules {voir le Chapitre V, § I, problème I)

l{x) — xx{i)

OU, ce qui revient au même,

(6) cj(,r)3=a."7J7(i).

Il suit de l'équation (5) que toute valeur de vs{x) propre à résoudre la question proposée est nécessairement de la forme

(7) GT(^) ri: (a + ôy/— i)a7,

a, h désignant deux quantités constantes. Il est d'ailleurs facile de s'assurer qu'une semblable valeur de cj(x) vérifie l'équation (i), quelles que soient les deux quantités a et b. Ces quantités sont donc deux constantes arbitraires.

On peut remarquer que, pour obtenir la valeur précédente de ^(œ), il suffît de remplacer, dans la valeur de 9(0?) que fournit l'équation (7) du Chapitre V (§ I), la constante arbitraire et réelle a par la constante arbitraire, mais imaginaire,

Problème II. — Déterminer la /onction imaginaire vj(x) de manière qu'elle reste continue entre deux limites réelles quelconques de la variable X, et que l'on ait, pour toutes les valeurs réelles des variables x et y,

(2) Ts5{x^y) — T^{x)T^{y).

Solution. — Si dans l'équation (2) on fait ^ — o, on en tirera

gt(o) = I

ou, ce qui revient au même, à cause de la formule

et, par suite,

9(0-) = 1, yJo)=:o.

La fonction cp(a;) se réduira donc à l'unité pour la valeur particulière o attribuée à la variable x; et, puisqu'on la suppose continue entre des limites quelconques, il est clair qu'elle sera, dans le voisinage de cette valeur particulière, très peu différente de l'unité, par conséquent positive. On pourra donc, en désignant par a un nombre très petit, choisir ce nombre de manière que la fonction ^{x) reste constamment positive entre les limites

a; zn o, X z=: et.

Cette condition étant remplie, comme la quantité 9(a) sera elle-même positive, si l'on fait

on en conclura

nj(a) -rr (p(a) -f-y^(a)\/— i — p(cosÇ + \/^i sinÇ).