PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE VIII

Concevons maintenant que dans l'équation (2) on remplace successivement y par j + 2, puis z par 5 -h w, . . . , on en déduira

r;5{x-hy-h z ^. . .) =inj(a:) ct( j) 57(5) . . .,

quel que soit le nombre des variables x,y, z-, ... ; si, de plus, on désigne par m ce même nombre, et que l'on fasse

jt =/ r= :;=...= a,

l'équation que l'on vient de trouver donnera

cy(ma) = [cT(a)]'"= p'"(cosmÇ 4- y/— I sinmÇ).

J'ajoute que la formule

7^(ma) =^ p'"(cosmC + s/ — i sin/nÇ)

subsistera encore si l'on y remplace le nombre entier m par une fraction ou même par un nombre quelconque u. C'est ce que l'on prouvera facilement ainsi qu'il suit.

Si dans l'équation (2) on fait

on en tirera

5î(-aj=:nT(a)=: p[cosÇ 4- y/— ï sinC];

puis, en extrayant les racines carrées des deux membres, de manière que les parties réelles soient positives, et observant que les deux fonctions 9(ir), cosa; restent positives, la première entre les limites ic = o, a? = a, la seconde entre les limites a? = o, x -=1,^ on trouvera

De même, si dans l'équation (2) on fait

on en tirera

[7^Qa)]'=^(la)=p^-(^cos|-i-v/-isin^);

puis, en extrayant les racines carrées des deux membres, de manière à obtenir des parties réelles positives.

Par des raisonnements semblables, on établira successivement les formules

G7|-a) =p^ (cos ^ +\/— isin^),

CJ

(76")=P'''("'4+V-.sml),

et, en général, n désignant un nombre entier quelconque.

roi -:

;„.) = p'^[cos(i,ç)^,/=7si„(^.ç)].

Si l'on opère sur la valeur précédente de cj( ^a) pour en déduire celle

de

crf — -a), comme on a opéré sur la valeur de cT(a) pour en déduire

celle de zô(ma), on trouvera

cos( -Çj+vZ-isin^^

ou, ce qui revient au même.

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et, par suite,

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