PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE VIII

puis, en supposant que la fraction — varie de manière à s'approcher

indéfiniment du nombre [jl, et passant aux limites, on obtiendra les équations

desquelles on conclura

De plus, si dans l'équation (2) on pose

on en tirera

în(o)

cj(- ^a) := -— - =z p-!^[cos(- //C) + s/- I sin(- /xÇ)j.

La formule (8) subsistera donc lorsqu'on y remplacera a par — u. En d'autres termes, on aura, pour des valeurs réelles quelconques positives ou négatives de la variable x,

(9) cj(a^) =r p'^[cosCôc + y/-- i sinCx] — [cT(a)]-*^.

Si dans cette dernière formule on écrit ~ au lieu de x, elle deviendra

(10) Gî(^) — p* cos(-.rj+v/— 7sin(-.rj — [GT(a)]*; et si l'on fait ensuite, pour abréger,

on trouvera

(12) Gj(.r) = A^(cos^.r + V — X sin^d?).

Ainsi toute valeur de cj(^), propre à résoudre la question proposée, sera nécessairement de la forme

A*(cos^oC + y— I sin6.r),

A, h désignant deux constantes réelles, dont la première ne pourra

OEuvrcsdeC— S. U, t. HI. 29

226 COURS D'AiNALYSE.

être que positive. Il est d'ailleurs facile de s'assurer qu'une semblable valeur de u(ûo') vérifie l'équation (2), quelles que soient la valeur du nombre A et celle de la quantité b. Ce nombre et cette quantité sont donc des constantes arbitraires.

Corollaire. — Dans le cas particulier où la fonction cp(.r) doit rester positive entre les limites a? = o, ^ = 1 , on peut, au lieu de supposer a très petit, prendre a = i; et l'on conclut alors immédiatement des équations (9) et (10)

(.3) IÎT(^)=:[n5(l)r.

Problème III. — Déterminer la fonction imaginaire cT(.r) de manière qu'elle reste continue entre deux limites positives quelconques de la variable X, et que l'on ait, pour toutes les valeurs positives des variables x et y,

(3) cT(j77)=ny(^)4-CT(7).

Solution. — Si, à l'aide de la formule

nj(.x-) = ?('3?)+X(^)s/— ''

on remplace dans l'équation (3) la fonction imaginaire rs parles fonctions réelles ç et y^, puis, que l'on égale de part et d'autre les parties réelles et les coefficients de y/— i , on trouvera

cp(.r7) = cp(.r) + cp(j),

Si, de plus, on désigne par A un nombre quelconque et par L la caractéristique des logarithmes dans le système dont la base est A, on tirera des équations précédentes (voir le (Chapitre V, § 1 , problème m )

cp(^)----a)(A)L(j?),

et l'on en conclura

(,/i) ct(x)=:t[(p(A)-+x(A)v^"-TJL(j:')