PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE II

X, Y, Z, . . . , et ^ -I- a, j H- ^, ^ 4- y, ... par ar, 7, s, . . . , on obtient l'énoncé suivant :

Théorème I. — Si les variables x, y, z, ... ont pour limites respectives les quantités fixes et déterminées X, Y, Z, . . . , et que la fonction f{x, y, z, . . .) soit continue par rapport à chacune des variables x, y, z, . . . dans le voisinage du système des valeurs particulières

x = X, y = Y, zz=Z,

f(x, y, Zy . . .) aura pour limite /(X, Y, Z, . . .).

Comme, dans ce second énoncé, les variables a, 6, y, ... se trouvent remplacées par x — X,y — Y,z — Z, . . . , les relations qu'on pouvait établir, dans le premier énoncé, entre a, ê, y, . . . , pourront être établies, dans le second, entre les quantités ^ — X, y — Y, 5 — Z; et il en résulte que la fonction/(^,j, z, . . .)aurapourlimite/(X, Y, Z, ...), dans le cas même où les variables x, y, z, ... seraient assujetties à certaines relations, pourvu que ces relations leur permettent de s'approcher indéfiniment des limites X, Y, Z,

Supposons, pour fixer les idées, que x, y, z, ... soient fonctions d'une même variable t considérée comme indépendante, et continues par rapport à cette variable dans le voisinage de la valeur particulière

Si l'on fait, pour plus de commodité,

f{x,y,z, ...)=zu, u sera ce qu'on appelle une fonction composée de la variable t; et, si

X, Y, Z, ..., U désignent respectivement ce que deviennent

X, y, Zy ..., u dans le cas où l'on suppose z = T, il est clair, d'une part, qu'une

valeur de / très voisine de T fournira pour u une valeur unique et finie; d'autre part, qu'il suffira de faire converger/ vers la limite T, pour que les variables x, y, z, ... convergent vers les limites X, Y, Z, ..., et, par suite, la fonction u=if{x,y, z, ...) vers la limite U =/(X, Y, Z, . . .). On prouverait absolument de la même manière que, si l'on attribue à t une valeur très voisine de T, la valeur correspondante de la fonction u sera la limite de laquelle cette fonction s'approchera indéfiniment, tandis que / convergera vers la valeur donnée; et l'on doit conclure que u sera fonction continue de t dans le voisinage de / = T. On peut donc énoncer le théorème suivant :

Théorème II. — Désignons par

plusieurs fonctions de la variable t, qui soient continues par rapport à

cette variable dans le voisinage de la valeur particulière / = T. Soient,

de plus,

les valeurs particulières de x, y, z, ... correspondantes à t = T\ et supposons que, dans le voisinage de ces valeurs particulières, la fonction

uz=zf{œ,y,z, ...)

soit en même temps continue par rapport à x, continue par rapport à y, continue par rapport à z^ . . . ; u, considérée comme une fonction de t, sera encore continue par rapport à t dans le voisinage de la valeur particulière t =z'Y.

Si, dans le théorème précédent, on réduit les quantités variables x, y, z, ... à une seule, x, on obtiendra un nouveau théorème, qu'on peut énoncer comme il suit :

Théorème III. — Supposons que, dans l'équation la variable x soit fonction d'une autre variable t. Concevons de plus que