PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE VIII
ou, ce qui revient au même,
(i5) rxy{a;) =im{A)L{x).
Il suit de la formule (i4) que toute valeur ct(^) propre à résoudre la question proposée est nécessairement de la forme
(i6) CT(a;) — (a-+-6v/^^)L(.r),
a, b désignant deux quantités constantes. Il est d'ailleurs facile de s'assurer qu'une semblable valeur de tz(^x) vérifie l'équation (3), (fuelles que soient les quantités a et b. Ces quantités sont donc deux constantes arbitraires.
On peut remarquer que, pour obtenir la valeur précédente de rT(a'), il suffit de remplacer, dans la valeur de <^{x) que fournit l'équation (12) du Chaj)itre V (§ I), la constante arbitraire et réelle a par la constante arbitraire, mais imaginaire,
Nota. — On pourrait arriver très simplement à l'équation (i5) de la manière suivante.
En vertu des formules identiques
x — k^'\ y — hyy, l'équation (3) devient
Comme, dans cette dernière, les quantités variables Lx, Lj admettent des valeurs réelles quelconques positives ou négatives, il en résulte qu'on aura, pour toutes les valeurs réelles possibles des variables x
ci y,
ct(A^+J')=--gt(A^) +w(A>').
On en conclura [voirXe problème I, équation (6)]
cj(A^)=:a:nT(A') — ^st(A) et, par suite.
ou, ce qui revient au même,
gt(x) = cî(A) Ljc.
Problème IV. — Déterminer la /onction imaginaire zs(œ) de manière (ju elle reste continue entre deux limites positives quelconques de la variable X, et que l'on. ait, pour toutes les valeurs positives des variables x et y,
(4) w{xy) = w{x)xx!{y).
Solution. — 11 serait facile d'appliquer à la solution de ce problème une méthode semblable à celle que nous avons employée pour résoudre le second; mais on arrivera plus promptement à la solution cherchée, si l'on observe que, en désignant par L la caractéristique des logarithmes dans le système dont la base est A, on peut mettre l'équation (4) sous la forme
GT(A'''+Lr) — nT(A'"')GT(A'-'').
Comme, dans cette dernière équation, les quantités variables Lx, Ly admettent des valeurs réelles quelconques positives ou négatives, il en résulte qu'on aura, pour toutes les valeurs réelles possibles des variables X et y,
CT ( A^+r ) — . GJ ( A^ ) GT ( A^- ).
On en conclura, en représentant par a un nombre très petit et en remplaçant dans l'équation (lo) du second problème zi(x) par cj(A-''),
nj(A^)=i[cT(Aa)]«.
On trouvera par suite
ou, ce qui revient au même,
(•7) . Cl(a^) = [GT(A*)]« .
Il est essentiel d'observer que la fonction imaginaire ct(A-^), et pai' conséquent sa partie réelle cp(A'^), se réduisent à l'unité pour x = o.
