PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE IX

limites lixes, et le second, dans la supposition contraire. En d'autres termes, la série (3) sera toujours convergente en même temps que les séries réelles (i) et (2). Si ces dernières, ou Tune d'elles seulement, deviennent divergentes, la série (3) le sera également.

Dans tous les cas possibles, le terme de la série (3) qui correspond à l'indice //, savoir

est ce qu'on nomme son terme générai.

L'une des séries imaginaires les plus simples est celle qu'on obtient en attribuant à la variable x, dans la progression géométrique

une valeur imaginaire. Concevons, pour fixer les idées, que l'on fasse

j? — s(cos9 4- v^— 1 sin5),

:; désignant une nouvelle variable supposée réelle, et 6 un arc réel, i^a progression géométrique dont il s'agit deviendra

( T, s(cos9 -+- \/— J sin(?), ^^(cosaô + y/— I sinaô), ..., (5)

( ..., ;3"(cos/î6 + v^— ] sinnô), ....

Pour obtenir l'équation qui détermine la somme des n premiers termes de la série précédente, il suffit de remplacer .x^ par5(cosO -+- V-- ' ^'"^J) dans la formule

On trouve de cette manière

1 + 3(cosG + v'— ~^sin^) + ^''(00820 -+-v/^sin2Ô) +

5"(cos/i9 H- V^— I sin/i9)

1 — -3(cos9-4- y/— 1 sinô) i — s(cos9 + y/— i sinô)' et, comme, pour des valeurs croissantes de n, le module de l'exprès-

sion imaginaire

I — z cos 0 — zsinO y/— i

savoir

zts" " T'

converge vers la limite zéro ou croît au delà de toute limite, suivant qu'on suppose la valeur numérique de z inférieure ou supérieure à l'unité, on doit conclure de l'équation (6) que la série (5) est, dans la première hypothèse, une série convergente qui a pour somme

I — z cos y ~ 5 SI

nôv/-

et, dans la seconde hypothèse, une série divergente qtii n'a plus de somme.

La somme d'une série imaginaire convergente s'indique, comme si la série était réelle, par la somme de ses premiers termes, suivie de points

Cela posé, si l'on appelle s la somme de la série (3) supposée convergente, et que, dans la formule (4). on fasse croître n indéfiniment, on trouvera, en passant aux limites,

, , ( ^ = (/'o + ?oV/— i) + (/^i + 7i\/— 0 + (/'2+'72v/— 0 +••• ( 7 )

De même, lorsqu'on supposera la valeur numérique de z inférieure à l'unité, on tirera de l'équation (6), en faisant croître n au delà de toute limite assignable,

I I H- z(cos9 + \/— I sinô) -t- z^(cos29 -+- \^^ i sinaô) -h . . . (^) j I I — G cos 9 + z sinôy^— i

i — zcos6 — zsine\/—i i — 25 cose^-f- s^

En vertu de la formule (7), le premier membre de l'équation (8) peut