PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE IX

être présenté sous la forme suivante :

{\ -h z cos d ~\- z- cos 2 9 + . . . ) + ( 3 sin Ô -h- c- sin 2 5 + . . . ) v'— i .

On aura donc, pour des valeurs numériques de z inférieures à l'unité,

l (i + :;cos6 ■+- z^cos2Q + . . ,) -f- (3 sin9 -h s- sin29 + . . .) V^— " ' (9) 'i i — zcos9 z?,in9

l — 2Z COS 0 -h Z^- J — 9.Z COS 6 -+-

On en conclura

I — z cos 9

-+- z cos 9 -+- z'^ cos 2 9 -\- z^ cos 3 9 -t- . . .

I — 2 5 cos 6

/ . r „ . ^ .,..■./> 5 sin 9

f ^ sm & -f- ^^ sin 29 ^ z^ sm 69 -h- . . . =^ ^ ^^[

\ 1 — 2 5C0Sty-|-S^

Ainsi la substitution d'une valeur imaginaire de x dans la progression géométrique

suffît pour conduire à la sommation des deux séries

1 I, zcos9, z^ cos 29, .... z"-cosn9, ...,

(lO

( ^ sin 9, 3^ sin 2 9, ..., ^"sin/i9,

toutes les fois que la variable z- reste comprise entre les limites

c'est-ii-dire toutes les fois que ces deux séries sont convergentes.

Les premiers membres des équations (10) étant (en vertu du théorème I, Chapitre VI, § 1) fonctions continues de la variable z, dans le voisinage de toute valeur particulière comprise entre les limites

le premier membre de l'équation (9) sera lui-même, dans le voisinage d'une semblable valeur, fonction continue de z. Or, ce premier membre n'est autre chose que la somme de la série (5), dont les dif-

0FMi>rcs Je c. — S. n, t. ni. 3o

23i COURS D'ANALYSE.

fércnls ternies restent fonctions continues de z entre des limites quelconques. En généralisant la remarque qu'on vient de faire, on obtient la proposition suivante :

TiiKoiu'-.MK I. — Lorsque les diffèrenls termes de la série (3) sont des fonetions d'une même variable z, continues par rapport à cette variable dans le voisinage d'une valeur particulière pour laquelle cette série est convergente, la somme s de la série est aussi, dans le voisinage de cette valeur particulière, fonction continue de z.

Démon si ration. — En effet, dans le voisinage de la valeur particulière attribuée à la variable :;, la série (3) ne peut être convergente et avoir pour ses ditïerents termes des fonctions continues de z, qu'autant que les séries réelles (i) et (2) jouissent l'une et l'autre des mêmes propriétés : or, dans cette hypothèse, chacune des sommes

étant (en vertu du théorème I, Chapitre VI, § I) fonction continue de la variable ::,*il en résulte que la somme de la série (3), savoir

sera aussi fonction continue de cette variable. Supposons maintenant que l'on désigne par

PO' Pl> p2»

les modules des différents termes de la série (3), et par

cos9o-+- /— ' sln^o, cos9, + v'- isin^i» COS624- v - • sinô., ...

les expressions réduites correspondantes, en sorte qu'on ait généralement

9'>~- {pl^- ql)-,

Pn -î- 7« V -~ » ~- Pa(cos0„ -f- V'' - 1 sin5„).

RSITY