PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE IX

La série (3 ) deviendra

I p, (cos5, -h \ — I sin 9, ),

(12) / P-i (cos 5. -I- V - I sin Ô, ),

( p„(c()sô„-f-v' - I sinS,,),

et l'on pourra ordinairement décider si cette série est convergente ou divergente, à l'aide du théorème que je vais énoncer.

Théorème II . — Cherchez la limite ou les limites vers lesquelles converge,

tandis que n croit indéfiniment , l'expression (p,i)" • Suivant que la plus grande de ces limites sera inférieure ou supérieure à l'unité, la série (3) sera convergente ou divergente.

Démonstration. — Considérons d'abord le cas où les plus grandes

valeurs de l'expression (p,,)" convergent, tandis que n croît indéfiniment, vers une limite inférieure à l'unité. Dans ce cas, la série

('3) Po, pi, p>, ..., p„, ...

étant convergente (Chapitre VI, § II, théorème I ), les séries

i pocosôo, piCos9i, 0.1 cos 0.,, ..., p„cosG„, ...,

(poSin^o, pisinô,, p.,s\n9.,, ..., p„ sin ô„,

le seront également (Chapitre VI, § III, théorème IV), et la convergence de ces dernières entraînera celle de la série ( 12 ), qui n'est que la série (3) présentée sous une autre forme.

Supposons en second lieu que, pour des valeurs croissantes de n,

les plus grandes valeurs de (p„V' convergent vers une limite supérieure il l'unité. Dans cette hypothèse, on prouvera, par un raisonnement semblable à celui que nous avons employé dans le Chapitre VI (§ II, théorème I), que les plus grandes valeurs du module

croissent avec n au delà de toute limite, ce qui ne peut être vrai qu'autant que les plus grandes valeurs des deux quantités)»,,, r/,,, ou au moins de l'une d'elles, croissent de même indéfiniment. Or, comme ces deux quantités sont les termes généraux des séries (i) et (2), on doit conclure que, de ces deux séries, l'une au moins est divergente, ce qui suffit pour assurer la divergence de la série (3).

Scolie /. — Le théorème qu'on vient d'établir ne laisse d'incertitude sur la convergence ou la divergence d'une série imaginaire que

dans le cas particulier où la limite des plus grandes valeurs de (p^)" devient égale à l'unité. Dans ce cas particulier, il n'est pas toujours facile de décider la question. Toutefois on peut affirmer que, si la série (i3) est convergente, les séries (i4)' et par suite la série (12), le seront pareillement. La réciproque n'est pas vraie, et il pourrait arriver que, la série (12) restant convergente, la série (r3) fût divergente. Ainsi, par exemple, si l'on suppose

on obtiendra, à la place des séries (12) et (i3), les deux suivantes

dont la seconde est divergente, tandis que la première reste convergente et a pour somme

/désignant la caractéristique des logarithmes népériens.

Scolie IL — Lorsque, pour des valeurs croissantes de /?, le rapport

9'i-*-\ s'approche indéfiniment d'une limite fixe, cette limite est également