PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE IX
celle vers laquelle convergent les plus grandes valeurs de l'expres-
sion (p,y.
Le théorème V du § III (Chapitre VI) est évidemment applicable aux séries imaginaires aussi bien qu'aux séries réelles. Quant au théorème VI du même paragraphe, on doit, lorsqu'il est question des séries imaginaires, le remplacer par le suivant :
Théorème III. — Soient
i Ko, l/i, If 2, . . ., W„, . . .,
' <'oi ^l, «'2, • • -, ^'n, ■ • ■
deux séries convergentes, mais imaginaires, qui aient respectivement pour sommes s et s' . Si chacune de ces séries reste convergente lorsqu'on réduit ses différents termes à leurs modules respectifs,
f ..., «o<^î+ «it'«-i +•••-+- ««-i<'i+ «««'o, ••• .
sera une nouvelle série convergente imaginaire, qui aura pour somme ss .
Démonstration. — Désignons respectivement par s,,, s'^^ les sommes des n premiers termes des deux séries (i5), et par s^ la somme des n premiers termes de la série (i6). On trouvera
+ ( ««-1 <'l + ««-2 <'2 + . • • H- ll-î ('«-2 + "l «'«-I ).
Désignons encore par p„ et p), les modules des expressions imaginaires 'u,^ Çiiv„, en sorte que ces expressions soient déterminées par des équations de la forme
«„-: p„(cos9„-i- v'— I sin^H).
^n = p'„ ( cos 9'„ + v^^-^ sin 9'„ ).
Les séries réelles
Po»
pi'
••> Pn:
Pi'
étant convergentes par hypothèse, on en conclura, comme dans le Chapitre VI (§ III, théorème VI), que la somme
P'i-lp'n 1 + iPn-l P'„ -2 + P/i' 2 P'/, m ) "^ • • •
+ (p„-ip', + p„-2P2+- • .+ p2p'„- 2-^-PlP/,-l)'
converge, pour des valeurs croissantes de /^, vers la limite zéro. Il en sera de même a fortiori des deux sommes
p„.-,p'„, cos(5„, + 9;,,)
+ [P/i-ip'«-2Cos(6'„,^- 0'„^.,) -f-p„2p'„, cos(9„2-+-^;,,)] +
+ [p„, p\ C0S(9„, 4- 9; ) + p,,-2p2 COS(9„^2+ ^2 ) +. . .
+ p2 p'n -2 cos ( 9, + ô;,, ) + p, p'„ j cos ( 9, 4- 9;„, )]
et
p„ip;,,sin(9„,+ 0;,^,)
+ [p„, p'„ 2 sin(9„, -f- 0;,, ) -+- p„-2p;,-, sin(9„2+ ^;, -i )]
+ [p„-ip', sin(9„.,-4- 0',) + p„2p'2 sin(9,,2 4-5; ) +. . .
+ p2 P«-2 ^in ( 0, + 9;,., ) 4- p, p;, __, sin ( 9, + 9',,. , )],
dont la première représente évidemment la partie réelle de l'expression imaginaire
tandis que la seconde représente le coefficient de y — i dans cette expression. Par suite, s„s]^ — s]^ convergera aussi, pour des valeurs croissantes de n, vers la limite zéro; et, comme s,^s]^ s'approche indéfiniment de la limite ss', il faudra de toute nécessité que l'expression s^, c'est-à-dire la somme des n premiers termes de la série (i(i), s'approche elle-même indéfiniment de cette dernière limite. Il en résulte : i" que la série (i6) est convergente; 2° que cette série cou-' vergente a pour somme ss'.
