PREMIÈRE PARTIE. CHAPITRE IX

§ II . — Des séries imaginaires ordonnées suivant les puissances ascendantes et entières d'une variable.

Soit X une variable imaginaire. Toute série imaginaire ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de la variable x sera de la forme

Cq^ ^0 V'— I ' («iH- ^1 V^— l)j7, ((72+ ^2 V— O-^'' •••»

«0, a^, «2» •••,««. • • • » lu, bf, bç>, . . . , ^„, . . . désignant deux suites de quantités constantes. Dans le cas où les constantes de la seconde suite s'évanouissent, la série précédente se réduit à

Nous considérerons en particulier dans ce paragraphe les séries de cette dernière espèce. Si, pour plus de commodité, on pose

(2) X ^=: z(cos9 -\- \ — i sind),

z désignant une variable réelle et G un arc réel, la série ( i) deviendra

«0, a,c(cos9 + v'— 1 sin9), «as^cosaô + y/^ i sinaô), ..., «,j3" (cos/i9 + y — I sin«9), ....

Soit maintenant, comme dans le Chapitre VI (§ IV), A la plus grande des limites vers lesquelles converge, tandis que n croît indéfiniment, la racine n"''''*" de la valeur numérique de a„. La plus grande des limites vers lesquelles convergera dans la même hypothèse la racine /^''"" du module de l'expression imaginaire

a„x" ~ a„z" icos/i 9 -\- y — i sin/i 9)

sera équivalente à la valeur numérique du produit

et en conséquence (voir ci-dessus le § I, théorème II ) la série (3 ) sera

2i0 COURS D'ANALYSE.

convergente ou divergente suivant que le produit A^ aura une valeur numérique inférieure ou supérieure à l'unité. On déduit immédiatement de cette remarque la proposition suivante : , .

Théorème \. — La série (3) est convergente pour tontes les râleurs de z comprises entre les limites

et divergente pour toutes les valeurs de z situées hors des mêmes limites. En d'autres termes, la série (i) est convergente ou divergente suivant que

le module de l'expression imaginaire x est inférieur ou supérieur à — •

Scolie. — Lorsque la valeur numérique du rapport -^^^ converge,

pour des valeurs croissantes de n, vers une limite fixe, cette limite est précisément la valeur de la quantité positive désignée par A.

Corollaire I. — En comparant le théorème précédent au théorème I du Chapitre VI (§ TV), on reconnaîtra que, si la série (i) est convergente pour une certaine valeur réelle de la variable x, elle demeurera convergente pour toute valeur imaginaire dont cette valeur réelle serait, au signe près, le module. Par suite, si la série (i) est convergente pour toutes les valeurs réelles de la variable x, elle restera convergente, quelle que soit la valeur imaginaire que l'on attribue à cette variable.

Corollaire IL — Pour appliquer le théorèfme I et le précédent corollaire, considérons les quatre séries