PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE IX

(jt, désignant dans la seconde une quantité quelconque. De ces quatre séries les deux premières, ainsi que la dernière, restent convergentes pour toutes les valeurs réelles de x comprises entre les limites

et la troisième pour des valeurs réelles quelconques de la variable x. Mais si, au lieu d'attribuer à x une valeur réelle, on suppose

X •=^(cos0 + v''— I sinô), à la place de ces quatre séries, on obtiendra les suivantes

il, ^(cosîJ + v/— I sinô), s2(cos2(5 + v/— I sina^), .,., ..., 5"(cos/i9 + v'— I sin/i9), ...;

( I, ^5(cos5H-\/^^sin0), ^^^~^'s^(cos2(; + v^— ^sin2 0), ..., (9)

s(cos9-+-y/— I sinô) z^fcosa^ -f- y/— i sinaô)

z'»(cos/i9 + y/— I sinnô)

5(cos9 -h \j— I sinô) ^^(cos2'9 + y/— i sin 20)

^ 2'*(cosn(9 + y/— i sinnS)

dont les deux premières et la dernière resteront convergentes pour toutes les valeurs de z comprises entre les limites

tandis que l'avant-dernière sera toujours convergente, quelle que soit la valeur réelle de z.

Après avoir fixé les limites entre lesquelles il faut renfermer z pour rendre la série (3) convergente, nous ferons remarquer que, en vertu

OEuvresde C. — S. H, t. HI. 3l

des principes établis dans le paragraphe précédent, les théorèmes III, IV et V du Chapitre VI (§ IV), avec leurs corollaires, peuvent être étendus au cas où la variable x devient imaginaire. On devra seulement admettre, dans l'énoncé du théorème IV, que chacune des séries

tf A ^ Ct 1 iX ^ tZo «-^ y * • • 1

c/()j C/jtX/j U^CC y ...

reste convergente lorsqu'on réduit ses différents termes non plus à leurs valeurs numériques, mais à leurs modules respectifs. Cela posé, si l'on désigne par t3{\x) ce que devient le second membre de l'équation (i5) (Chapitre VI, § IV), lorsqu'on attribue à x la valeur imaginaire

^(cos^ -H y/— I sin5),

ou, en d'autres termes, si l'on fait

(12) cj(;x) r- I ^- ^z{q,o?,9 4- /— X ûnO) + — ;;^(cos2(5 + sj— i sina^) 4-.

on trouvera, au lieu de la formule (16) (Chapitre VI, § IV), la suivante :

(r3) gt(^)ct([x') — cT(fz-+-fz').

II est essentiel de remarquer que cette dernière formule subsistera uniquement pour les valeurs de z comprises entre les limites z=^ — \, :; = -hi, et qu'entre ces limites la fonction imaginaire rs{\k)y c'està-dire la somme de la série (9), sera en même temps continue par rapport à :; et par rapport à [x (^iwir ci-dessus le § I, théorème I).

Concevons à présent qu'au lieu de la série (9) pn considère généralement la série (3), et que dans cette dernière on fasse varier la valeur de z par degrés insensibles. Tant que la série (3) sera convergente, c'est-à-dire tant que la valeur de z restera comprise entre les limites

la somme de la série sera une fonction imasrinaire continue de la va-