PREMIÈRE PARTIE. ^ CHAPITRE IX

riable z. Soit tj(z) cette fonction continue. L'équation

nj(5) = ao-4- ai5(cos9 + v/^ sin9) 4- a2:;^(cos2 0 -^\/— i sinaS) +. . .

subsistera pour toutes les valeurs de :: renfermées entre les limites ~, ce que nous indiquerons en écrivant ces limites à côté

de la série, comme on le voit ici :

(i4) Tn{z) = ao-h aiz(co?:9 -h \J— i sinô) -+- a^z-^co^iiB + \J— i sinaQ) +.,

On doit observer que l'équation précédente équivaut toujours à deux équations réelles. En effet, si Ton pose

(i5) m{z)=.o{z) + ySz)^J'^i,

0(5) et 7,(5) désignant deux fonctions réelles, on tirera de l'équation (14)

( cp(5) 1= «o-i- a,2 cos5 H- a^z- cos2 0 +-...,

{ -^{z) =z «1^ sin9 4- aj^^ sin2 0 -h. . .

Lorsque la série (3) est donnée, on peut quelquefois en déduire la valeur de la fonction u{x) sous forme finie, et c'est là ce qu'on appelle sommer la série. Nous avons déjà, dans le § I, résolu cette question pour la série (8). Nous allons maintenant chercher à la résoudre pour les séries (9), (10), (11); et, en conséquence, nous traiterons l'un après l'autre les trois problèmes qui suivent.

Problème I. — Trouver la somme de la série

(9) I, ^:;(cos9+v/^sin0), ^^^ 7 '^ -'(cos^g 4- v/=^ sin^^, •.•,

dans le cas oà l'on attribue à la variable z une valeur comprise entre les limites

Solution. — Soit C7(p.) la somme cherchée. En désignant par a' une quantité réelle différente de \l, on trouvera

(l3) . CT(fz)nT(|i.') = C7(/^ + ^').

L'équation précédente, étant semblable à l'équation (2) du Chapitre VIII (§ V), se résoudra de la même manière; et l'on en conclura

le module r et l'angle t étant deux quantités constantes par rapport à [X, mais qui dépendent nécessairement de z et de §. On aura donc. entre les limites s = — i , ^ = -f- 1 ,

( — /-[^(cosiJii H- y'— 1 sinjjLi).

Pour déterminer les valeurs inconnues de r et de /, on fera, dans l'équation (17), [x = i, et l'on en tirera

I -f- z cosô M- ^sinÔ\/— I — /-cos^ -h r sin^y/— ' ou, ce qui revient au même,

z sinô = /• sirK.

On trouvera par suite

r~ (1 + 25 COS0 -\- Z'Y;

puis, en observant que cos/ = ^ ^ " ^^^ reste positif pour toute valeur numérique de :; inférieure à l'unité, et désignant par k un nombre

entier quelconque,

z%\nQ ^ , t — arc lang -, ± ikn.

Cela posé, si l'on fait, pour abréger, 0°) 5 = arclang