PREMIERE PARTIE. - CHAPITRE II

la variable x soit fonction continue de t dans le voisinage de la valeur particulière t =T, et u fonction continue de x dans le voisinage de la valeur particulière x = \ correspondante à / = T. La quantité u, considérée comme fonction de t, sera encore continue par rapport à cette variable dans le voisinage de la i^aleur particulière ^ = T.

Supposons, par exemple,

u = ace et ce :::= t",

a désignant une quantité constante, et n un nombre entier. On conclura du théorème III que

u — at"

est, entre des limites quelconques de la variable t, fonction continue de cette variable.

De même, si l'on fait

ce u -= ~ , ja = sin t, y = cos t,

on conclura du théorème II que la fonction

u =1 tang^

est continue par rapport à / dans le voisinage d'une valeur finie quelconque de cette variable, toutes les fois que la valeur dont il s'agit n'est pas comprise dans la formule

k désignant un nombre entier; c'est-k-dire toutes les fois qu'à cette valeur de t correspond une valeur finie de tang^. Au contraire, la fonction tang/ admettra une solution de continuité, en devenant infinie, pour chacune des valeurs de t comprises dans la formule précédente.

Supposons encore

« =r a 4- j; 4- j -f- :; -H . . . , x^bty y — cl^, . . .,

OEuvresdeC.— S.\\,\.\\\. 7

a, h, c, . . . désignant des quantités constantes. Alors, u étant fonction continue de oc, y, z, . . . entre des limites quelconques de ces variables, et ic, y, z-, ... fonctions continues de la variable t entre des limites quelconques de cette dernière, on conclura du théorème III que la fonction

a ^:= a -\- bt -\- cl- + . . .

est elle-même continue par rapport à / entre des limites quelconques. Par suite, comme ^ =: o donne a = a, si l'on fait converger / vers la limite zéro, la fonction u convergera vers la limite a et finira par obtenir le même signe que cette limite, ce qui s'accorde avec le théorème IV du § I.

Une propriété remarquable des fonctions continues d'une seule variable, c'est de pouvoir servir à représenter en Géométrie les ordonnées de lignes continues droites ou courbes. De cette remarque on déduit facilement la proposition suivante :

Thkorème IV. — Si la fonction /(^x) est continue par rapport à la variable X entre les limites ^- = ^r,,, ^ = X, et que l'on désigne par h une quantité intermédiaire entre fi^x^) et f{\), on pourra toujours satisfaire à r équation

par une ou plusieurs valeurs réelles de x comprises entre .r^ et X.

Démonstration. — Pour établir la proposition précédente, il suffît de faire voir que la courbe qui a pour, équation

rencontrera une ou plusieurs fois la droite qui a pour équation

dans l'intervalle compris entre les ordonnées qui correspondent aux abscisses.ro et X; or c'est évidemment ce qui aura lieu dans l'hypothèse admise. En effet, la fonction/(.r) étant continue entre les limites X = ^„, X — X, la courbe qui a pour équation y =f(x) et qui passe