PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE IX

l'équation (17) deviendra

il + - z{cos9 + v/— I sinô) + ^-—^ z^(cos29 -+- y/— 1 sinaô) + ... = (1 + 2zcos9 4- z-y {cos^xt-h \/— I sin/jL«)

la valeur de t étant déterminée par la formule

(20) t:zzs±: ikv:,

dans laquelle le nombre entier k ne peut dépendre que des quantités setO.

Remarquons à présent que le premier membre de l'équation (19) est, entre les limites z = — i, 5 = 4-1, une fonction continue de z, qui varie avec z par degrés insensibles, quelle que soit la valeur de ix. Le second membre de l'équation devra donc jouir de la même propriété, ou, en d'autres termes, les quantités

(l 4- 2ZC0S9 4- --)*COSjJli,

(i 4- 2s cosô 4- 5^)* sin/jtf

et, par conséquent, les suivantes

cosixt, sinp.^

devront varier avec z par degrés insensibles, pour toutes les valeurs possibles de [x. Or cette condition ne peut être remplie que dans le cas où t lui-même varie avec z par degrés insensibles. En effet, si un accroissement infiniment petit de z produisait un accroissement fini de t, de manière à changer t en t + a, a désignant une quantité finie, les cosinus et sinus des deux arcs

ixt, ix{t -i- a)

ne pourraient demeurer sensiblement égaux, qu'autant que la valeur numérique du produit [xa serait à très peu près un multiple de la cir-

conférence, ce qui ne peut être vrai que pour des valeurs particulières (lu coefficient [f., et non pas généralement pour des valeurs finies quelconques de ce coefficient. On doit donc conclure que l'arc t = s± ikiz est fonction continue de z; et, comme des deux quantités s, k, la première, déterminée par l'équation (i8), varie avec z d'une manière continue entre les limites ^ = — i, s = -f- i, tandis que la seconde, assujettie à rester toujours entière, n'admet que des variations finies d'une ou de plusieurs unités, il est clair que, pour satisfaire à la condition énoncée, la quantité s devra varier toute seule, et la quantité k deme,urer constante. Cette dernière quantité sera donc indépendante de z, et, pour en connaître la valeur dans tous les cas possibles, il suffira de la chercher en supposant z =^ o. Gomme on a, dans cette hypothèse, 5 = o, / = i ikiz, on tirera de l'équation (19)

I r= cos(2A-|ji7r) ±: v' — i sin (2 A'/jit:),

quelle que soit la valeur de jjt-, et par suite

Gela posé, la formule (20) donnera généralement

et l'équation (19) se trouvera réduite à

( =r (l -L- 2^ COSÔ + s^)'^ (^co^iis -\-\/—i 's,\n[xs),

De plus, si l'on a égard à la formule (27) du Chapitre Vil (§ IV), on reconnaîtra facilement que le second membre de l'équation (21) peut être représenté par la notation

[1 + c(cosô -f- v/— ^sin^)J^.

On aura donc, en supposant toujours la valeur de z comprise entre les