PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE IX. 2W

limites — i et + i,

!i + - z(cos9 + v/— I sinô) + "—^ z^(cos2 9 ■-+- J~ i sin2 9) -i-... I 1.2 = \i-hz{cose-h\/^^sm9)Y

En d'autres termes, l'équation (20) du Chapitre VI (§ IV), savoir

subsistera, non seulement si l'on attribue à la variable x des valeurs réelles comprises entre les limites — i, h- i, mais encore si l'on fait

a; = z(cos9 -+- \J — i sin9),

la valeur numérique de z étant inférieure à l'unité.

Corollaire I. — La formule (21), comme toutes les équations imaginaires, équivaut à deux équations réelles, qu'on obtient en égalant de part et d'autre les parties réelles et les coefficients de y'— i . On trouvera de cette manière

-\- - z COS 9 -4- ^— ^ ^ z"^ ces lB +...■=: il -^ -2 z COS 9 + 3^ )^ ces U..V,

-3 sin9 -f- '—^ -2^ sin25 + . . .= (i + 23 cos9 + z'^f sinus

la valeur de s étant toujours déterminée par l'équation (18).

Corollaire IL — Si dans les formules (22) et (23) on pose [jl = — i, et (Jne l'on y remplace z par — z, on obtiendra les équations (8) et (io)du§I.

Corollaire III. — Si l'on pose 0 = - ou, ce qui revient au même, cos9=ro, sinô=:i,

la valeur de s, donnée par la formule (i8), deviendra

5=rarclang5,

et restera comprise entre les limites — t' h- 7 pour toute valeur

numérique de :: inférieure à l'unité. Dans la même hypothèse, on

aura évidemment

sins

coss

{i -+-2Z cosQ + z^y- ^{sécsy- —

(cos^)i^

et l'on tirera des équations (23), mais seulement pour les valeurs de s comprises entre les limites dont il s'agit,

(cosu.v = cos!^5 — ^— ^- cosi^-25 sin^s 1.2

(24 ', + ^lAT '^t^ '^t^ ^cosi^-*5sin*.ç — ...,

[• F- .. 1- P-iP- — 0(p^ — 2) ,.

sinus = *- cost^-'^sin^— ^—!- ^-Ç cosi*-*5 sin'.s + . . .

Par conséquent, si dans les formules (12) du Chapitre YII (§ II) on remplace le nombre entier m par une quantité quelconque tx, ces formules, qui avaient lieu pour toutes les valeurs réelles possibles de l'arc z, ne seront plus vraies généralement que pour des valeurs

numériques de cet arc inférieures à y-

Problème II. — Troiwej^ la somme de la série (10) I, -(cos9 4-v/— X sinô), -^^(cos2'> H-y/^ sina^), ...,

quelle que soit la valeur numérique de z.

Solution. — Si dans les équations (18) et (21) on remplace z par olz et u. par -> a désignant une quantité infiniment petite, on trouvera,