PREMIÈRE PARTIE. ~~ CHAPITRE IX. lïd

pour toutes les valeurs de y.z comprises entre les limites — i, -h i, ou, ce qui revient au même, pour toutes les valeurs de z comprises entre les limites y -^ - ■>

I 4- -(cos5 + V — I s'inO) -+- -— (cos2^ -l- t — i sin2 6') d — y.'

-\ ^— ^ ( cos 3 0 -r- \ - - 1 si n 3 9 ) ( I — a ) ( I — 2 y.) -+-

(1 -h 2 5CC COS 5 -d- a-c-)-* ( cos - -h \'-~ i sin

l'arc s étant déterminé par la formule

cxz s\nQ s ~ arc tanff ,;'

Si maintenant on fait décroître indéfiniment dans ré({uation {-23 ) la valeur numérique de a, on trouvera, en passant aux limites.

1 4- -(cos^ 4-^-1 sin 9) + ---(cos 2 5 -h v'— i s'u^ 0

(cos3S -H y— I sln3 9) -}-. . .

im

i -h 2/xz cos 9 + a- 3-)'* ( cos ^ — h \ — i

{Z=:z — cc, Zzzz~j-cc).

H reste à chercher la limite du produit

(i -i- 2y.z cosO -h x-z-Y"^ cos — !^ V -^ I sin -- Va X

et, par conséquent, celle de chacune des quantités

{i-^ 2XZ COsO ^- yrZ')-^,

Or, en premier lieu, si l'on fait

2 a :; cos 9 -T- a-^- r:=: S,

OEnvres ilt' C. — S. H, t. I M.

on en conclura

z cost) -I

et, par suite,

lim(i + o)^J —. e='^°«^.

De plus, la valeur de s donnée par l'équation (26) étant infiniment petite, le rapport

tang,s sin^ s

aura pour limite l'unité; et, comme on tire de l'équation (26) \angs 5 sinô

1 + as cosô 5" s ssini

a lang5 1 + (xz cos( on trouvera, en passant aux limites.

iimi - 1 "3 sin(

Gela posé, il est clair que le second membre de l'équation (23) aura pour limite l'expression imaginaire

en sorte que la formule (27) deviendra

X -I- - (cos^ 4- v/— 1 sinô) -i- -^— (cos2^ + V^ — 1 sin2(^) +. . . (28) ' ' '-2^

( r=e2'^°«'J[cos(5 sin0) -h v^— "î sin(3 sin9)J (:;=:— 00, 5=14-00),

la valeur de la variable réelle z étant complètement arbitraire, puisqu'elle peut être choisie 11 volonté entre les valeurs extrêmes :; — — 3c,