PREMIERE PARTIE. ~ CHAPITRE IX

Corollaire I. — Si , en comparant les deux membres de l'équation (^^28), on égale de part et d'autre : i*' les parties réelles; 2" les coefficients de y — i» on obtiendra les deux équations réelles

I 4- - ces 6 -\ — ^ COS26 -H. . .=: e^*""^^ cos(^ sinô), I 1.2 .

- sin 6 + -^^^ sin 20 + . . . — 6-"°^^ sin (;; sin0)

{z — — 00, zzzz^cc).

Corollaire IL — Si l'on suppose ô = - ou, ce qui revient au même,

cos0=ro, sinô = i, ;

les équations (29) deviendront

I 1 TT-y — ■ . . = cosc,

( - — X 4-...=:sin^

(-S =r — 00, Z-= + QC).

Ces dernières subsistant, aussi bien que les équations (29), pour des valeurs réelles quelconques de z, il en résulte que les fonctions sin^r et cù'èz sont toujours développables en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes de la variable qu'elles renferment. Comme cette proposition mérite d'être remarquée, je vais la démontrer ici directement.

La série

étant convergente pour toutes les valeurs réelles possibles de la variable x, restera convergente (en vertu du théorème I, corollaire I) pour des valeurs imaginaires quelconques de cette même variable. Si l'on multiplie la somme de cette série par la somme de

la série seinblal)l('

en ayant égard à la fois au théorème III du § I et à la formule (6) du Chapitre A'III (§ IV), on trouvera, pour toutes les valeurs possibles réelles ou imaginaires attribuées à x et à y,

Lorsque, dans l'équation qui précède, on remplace x par .Ty — i et y par y V — i, on obtient la suivante

dans laquelle on pourra, si l'on veut, supposer réelles les variables x

et y. Faisons, dans cette hypothèse,

, , ccJ — I œ- œ^ \/ — 1

L'équation (32) deviendra

57(.r) gt( r) — ct(x + J-);

et l'on en conclura \i'oir le Chapitre Mil, § V, équation (12 j|

î»t(.37) ;-- \^(cosbx + V - 1 sin bec) OU, ce qui revient au même,

( rr: A^( cos^j" -h V — 1 sin />a;)

(.rr^:— 00, a.'r=:-f-oo),