PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE I\. â

les lettres A et b représentant deux constantes inconnues dont la première est nécessairement positive. On aura par suite

.z=z A* cosba:,

.= A-^' sii) bœ

Pour déterminer les constantes inconnues A et b, il suffira d'observer : i" que les formules (34) doivent subsister lorsqu'on y change x en — X, et que, pour remplir cette condition, il faut nécessairement supposer

par conséquent

2° que, si, après avoir divisé par x les deux membres de la seconde des formules (34), on fait converger la variable x vers la limite zéro, le premier membre convergera vers la limite i, et le second membre,

savoir

. sinba: . sinba::

X bx

vers la limite b\ d'où résulte l'équation

Cela posé, les formules (33) et (34) deviendront respectivement

=: cos.a: + v^ — 1 sin.r

I — 1 ^—7 ~~ . . .z=r COS.37,

— — + . . . = sm X

(J7:rr — 00, ^ r= + oo).

Si dans les deux dernières on remplace la variable x par la variable s, on retrouvera les formules (3o).

Il est essentiel d'observer que l'équation (35), lorsqu'on y suppose X ~ z sinô, fournit le développement de

cos(:; sin0) -I- \'— I sin(^ sin5)

suivant les puissances ascendantes de :;. Si l'on multiplie ce développement par celui de

en ayant égard ii la formule (3 1 ), qui subsiste pour toutes les valeurs réelles et imaginaires des variables qu'elle renferme, on obtiendra précisément l'équation (28).

Problème III. — Trouver la somme de la série

( "(cos9 + \'— I sinô) — "-(cos2Ô -h y'— 1 sin2 6), (n) < „3

f + y(cos3Ô + \/^ sinSô) — ...

dans le cas où l'on attribue à la variable z une valeur comprise entre les limites

Solution. — Si l'on prend à l'ordinaire la lettre /pour la caractéristique des logarithmes népériens, on aura

(H-2SCOs64-^2)' =re^

et par suite l'équation (2r) pourra être mise sous la forme

1 + ^s(cos6 + v/^ sinô) -h ^^V-~^' ^^(cosçjg + y/Z"; sin29)

~=^ e- vcos]:/.v 4- y- I siii,a5J