WA — ,+^ ^. ,
On aura par suite
(4) ' e-^v^-i =r cos^ -f- v'— I sin^, • ' g-^v'- '=r cos.r — \J — 1 siiij?,
la variable x pouvant toujours être ou réelle, ou imaginaire. De plus, l'équation (3i) (§ II) donnera, quels que soient x et j,
( 5 ) e-^ er = e^+r.
Gela posé, il deviendra facile d'obtenir sous forme finie les valeurs de A"^, sin.r et cos^ correspondantes à des valeurs imaginaires de la variable x. En effet, si l'on suppose
a, 6' représentant des quantités réelles, on conclura des deux premières équations (4) jointes à l'équation ("))
(7) A^=e''A=:e(x+<5»/=i)/A ga/Ag^/A»^=l^a(cosS/A + v-^sin6/A), et des deux dernières équations ( ^i)
f sm o; = = — - — ;
puis, en remettant pour x sa valeur a + Çy/^ i , et développant les
PRExMIÈUE PARTIE. - CHAPITRE IX. 259.
seconds membres,
j gê|g— ê g6 Q ?)
cosJ7= cosa sinav'— I,
(9) 'sinj?— : sin a H ^ cosav'--i
1 = cos ( -- — a — o \/- - f ) .
Ainsi, dans l'hypothèse admise, les trois notations
désignent respectivement les trois expressions imaginaires
A^(cosê /A 4- v/— 7 sine /a),
gg 4 e-è gg „ g-g .
sin a H cos y.\ — i ,
gê-l-e-g e^-"e-^ . /
cos a smav — i.
Dans la même hypothèse, si l'on fait
A rrz e,
l'équation (7) fournira pour la notation
la valeur suivante :
e^(cos6 + V — I sine).
Les valeurs des trois fonctions
A'^, sin^, cos.r
se trouvant fixées par ce qui précède, dans le cas 011 la variable x devient imaginaire, nous avons encore à chercher quelles définitions on doit donner, dans le même cas, des fonctions inverses
hx, arcsino^, arccoSuC
ou plus généralement quel sens on doit alors attribuer aux notations
L((.r)), arc sin((j;)), arc cos(( j:-)).
Supposons toujours
^ = 3c H- 6 y'— J ::= p ( cos 0 + v/--~î si n 5 ),
a, S désignant deux quantités réelles qui peuvent être remplacées par le module p et l'arc réel 0. Toute expression imaginaire u-\- vsj— i propre à vérifier l'équation
(lo) k"^''f--'^=iy. + &\' — ~\—x
sera ce qu'on appelle un logarithme imaginaire de x pris dans le système dont la base est A. Comme l'équation (ro) fournit, ainsi qu'on le verra ci-après, plusieurs valeurs de u -h <^v'— i» dans le cas même où ^ se réduit à zéro, il en résulte que toute expression, soit imaginaire, soit réelle, a plusieurs logarithmes imaginaires. Lorsque l'on voudra désigner indistinctement un quelconque de ces logarithmes (parmi lesquels on doit comprendre le logarithme réel, s'il y en a), on emploiera la caractéristique L ou / suivie de doubles parenthèses, en ayant soin d'énoncer dans le discours la base du système. Nous choisirons de préférence la caractéristique /, lorsqu'il s'agira de logarithmes népériens pris dans le système dont la base est e. En vertu de ces conventions, les divers logarithmes des quantités réelles ou expressions imaginaires
se trouveront respectivement désignés, dans le système dont la base est A, par
L((.)), L((-i)), L((a+Sv'-~0). L((-^))
et, dans le système népérien dont la base est e, par
/((O), /((-!)), /((5: + Sv/~i)), l{{x)).
Gela posé, pour déterminer ces divers logarithmes, il suffira de résoudre les problèmes suivants.
