PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE IX

Problème I. — Trouver les diverses valeurs réelles ou imaginaires de

l'expression

Solution. — Soit u ^ v sj — i l'une de ces valeurs, u, v désignant deux quantités réelles. On aura, d'après la définition même de l'expression /((i)),

ou, ce qui revient au même,

e" (cos V -^' y/'— i sin c) — i .

On tirera de cette dernière équation

cos(' ^- y/ — 1 sint' =ri

et, par suite,

cost'=.i, sirn^ — o, p = ±:2/:7r,

k représentant un nombre entier quelconque. Les quantités u et v étant ainsi déterminées, les diverses valeurs de // + v\^ ~'\ propres à vérifier l'équation (r r) seront évidemment comprises dans la formule

u 4- (• y/— I izz ib 3 kn \J— 1 .

En d'autres termes, les diverses valeurs de /((i)) seront données par l'équation

(12) /((i))==±2A-7rv'^.

Parmi ces valeurs une seule est réelle, savoir, celle qu'on obtient en posant X- — o, et qui se réduit elle-même à zéro. C'est pour représenter cette valeur réelle qu'on emploie communément la notation simple

l{\) ou li.

Quant aux valeurs imaginaires de /((i)), elles sont évidemment en nombre infini.

Problème II. — Trouver les diverses valeurs de l' expression

Solution. — Soit u-{-v\;—i l'une de ces valeurs, u, v désignant deux quantités réelles. On aura, d'après la définition même de l'expression /(( — i)),

ou, ce qui revient au même,

• ^"(008^- + y'- - 1 sin^') — — I.

On tirera de cette dernière équation

e" — I , cos V -h y — X siri t^ ::= — I

et, par suite,

U -=- o, 008^"== — I, sinr::=o, (^ -— ±: (2 /r 4- 1 )7r,

k représentant un nombre entier quelconque. Les quantités u, v étant ainsi déterminées, les diverses valeurs de u -^ v\ — i propres à vérifier l'équation (i3) se trouveront évidemment comprises dans la formule

u-{- V \~i — ; :± ( 2 A- + I ) Ti \ '— I .

En d'autres termes, les diverses valeurs de /(( — i)) seront données par l'équation

(i4) /((-i))=:±(2A--M)7rs/=^.

Par conséquent ces valeurs seront toutes imaginaires et en nombre infini.

Problème III. — Trouver les diverses valeurs de l' expression

Solution..— Soit u -{-vsj — i l'une de ces valeurs. On aura, d'après