PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE II

i" par le point corrospondant aux coordonnées a\, /(^o)» -" P^^" '^^ point correspondant aux coordonnées X et/(X), sera continue entre ces deux points; et, comme l'ordonnée constante b de la droite qui a pour équation r = b se trouve comprise entre les ordonnées /(a?,,), /(X) des deux points q\ie l'on considère, la droite passera nécessairement entre ces deux points, ce qu'elle ne peut faire sans rencontrer dans l'intervalle la courbe ci-dessus mentionnée.

On peut, au reste, comme on le fera dans la Note III, démontrer le théorème IV par une méthode directe et purement analytique, qui a même l'avantage de fournir la résolution numérique de l'équation

§ III. - Valeurs singulières des fonctions dans quelques cas

particuliers.

Lorsque, pour un système de valeurs attribuées aux variables qu'elle renferme, une fonction d'une ou de plusieurs variables n'admet qu'une seule valeur, cette valeur unique se déduit ordinairement de la définition même de la fonction. S'il se présente un cas particulier dans lequel la définition donnée ne puisse plus fournir immédiatement la valeur de la fonction que l'on considère, on cherche la limite ou les limites vers lesquelles cette fonction converge, tandis que les variables s'approchent indéfiniment des valeurs particulières qui leur sont assignées; et, s'il existe une ou plusieurs limites de cette espèce, elles sont regardées comme autant de valeurs de la fonction dans l'hypothèse admise. Nous nommerons valeurs singulières de la fonction proposée celles qui se trouvent déterminées comme on vient de le dire. Telles sont, par exemple, celles qu'on obtient en attribuant aux variables des valeurs infinies, et souvent aussi celles qui correspondent à des solutions de continuité. La recherche des valeurs singulières des fonctions est une des questions les plus importantes et les plus délicates de l'Analyse : elle offre plus ou moins de

difficultés, suivant la nature des fonctions et le nombre des variables qu'elles renferment.

Si d'abord on considère les fonctions simples d'une seule variable, on trouvera qu'il est facile de fixer leurs valeurs singulières. Ces valeurs correspondent toujours à l'une des trois hypothèses

et sont respectivement

Poulies fonctions

o -\- a: «quelconque.... a -\- {— oo) -=z a — x a quelconque ... . a — (— oo) —

( a positif « X (— oc) = — oo

( a négatif « x (— oo)

a positif

[ a négatif

( a positif.

I a. négatif.

a — 00 -rt X oo -

a X oo — -

q=oo

Oa —

oo" zzz 00

A"r=oo

oc

( A sup. à l'unité . .

( A inf. à l'unité . . .

/ Base des log. sup. )

\ à l'unité \

Lia;) <

j Base des log. inf. )

^ à l'unité i

sin^ sin(— oô)z-M((— I, +i)) sin(oo) = M((— i,-i- 1))

COS^ COS(— Oc)r=M((— X, +l)) COS(oo) = M((— I,4-l))

La notation M((— i, -t-i)) désigne ici, comme dans les préliminaires, une quelconque des quantités moyennes entre les deux limites

— I et +1.

Il est bon d'observer que, dans le cas où l'on suppose a^±im,