PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE IX

1° Si a est positif,

(22) /((a + 6v/^))=^/(a'+ê2)+('arctang-jv^^ + ^((0); 2" Si a est négatif,

(23) /((a + 6 v/^) = i /(a^+ ê^) -h ("arc tang 1") v/-T + /((- i)).

Corollaire IL — Si, dans les équations (22) et (23), on suppose Ç = o, elles donneront respectivement, pour des valeurs positives de a,

(24) l{{a)) = /(a) + /((!)),= /(a) ± 2l<T.s''^i et, pour des valeurs négatives de a,

(25) /((a)) — /(- a) + /((— 0) = l{— a) ±: (2/x 4- i)7rv^^^,

k devant toujours être un nombre entier. Il suit de ces dernières formules qu'une quantité réelle a a une infinité de logarithmes imaginaires, parmi lesquels se trouve un seul logarithme réel, dans le cas où a est positif. On obtient ce logarithme réel, désigné par la notation simple /(a) ou /a, en posant, dans l'équation (24), k = o.

Scolie I. — Parmi les diverses valeurs de /((i)), ainsi qu'on Ta déjà remarqué, il en est une égale à. zéro, que l'on indique par la notation /(i) ou /i, en faisant usage de parenthèses simples, ou même les supprimant tout à fait. Si l'on substitue cette valeur particulière dans l'équation (22), on obtiendra une valeur correspondante de

/((a + êv/^)),

que l'analogie nous porte à indiquer, à l'aide de parenthèses simples, par la notation

C'est ce que nous ferons désormais. Par suite, on aura, en supposant a positif,

(26) /(a + êv/^)r=^/(a2 + 82) + ('arctang?V"-^-

OEuvres de C, S. II, f. HI. • '64

Si, au contraire, a devient négatif, — a étant alors positif, on trou-

vera

/( a - 6 v^- i) = ^ ^(=t' + S') 4- (arc lang --| V" ou, ce qui revient au même, (27) /(a-êv/~)= ^/(a^+ê2) + Carctang-')v^=7

En faisant usage des notations précédentes, on réduira les équations (22) et (23) à celles qui suivent

(28) /((a + 6^/117)) =. /(aV g v^^) 4- /((i)),

la première se rapportant à des valeurs positives de a, et la seconde à des valeurs négatives de la même quantité. En d'autres termes, suivant que la partie réelle d'une expression imaginaire représentée par X sera positive ou négative, on aura

ou bien

En résumant ce qu'on vient de dire, on voit que la notation

a une signification précise déterminée par l'équation (26), dans le cas seulement où la partie réelle de l'expression imaginaire représentée paro^ est positive, tandis que la notation

liix))

a, dans tous les cas possibles, une infinité de valeurs déterminées par l'une des équations (28) et (29).