PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE IX

devait s'y attendre, à l'équation identique

arc cosa = arccosa.

D'autre part, si l'on observe que ±ik- représente un quelconque des arcs qui ont l'unité pour cosinus, on reconnaîtra que l'équation (45) peut être mise sous la forme

(47) arc cos((.r)) =rifc arc cosjp + arc cos((i)).

11 est encore essentiel de remarquer que, dans le cas où l'on suppose g z= o et la valeur numérique de a supérieure à l'unité, l'expression

arc cosa

obtient toujours une valeur imaginaire. Cette valeur sera donnée par l'équation

(48) arccosa=: /(a) V^— I si a est positif, et par la suivante

(49) arc ces oc ==714- /(— a) y/— ' = [^(— a) — tiv^— ^] V^^^

si a devient négatif.

Considérons maintenant les arcs imaginaires dont le sinus est

j7 = a -h êy/— I . Si l'on désigne un quelconque de ces arcs par

arc sin((^)) r= « h- v\] — \ , on trouvera, en ayant égard à la seconde des équations (9),

X = sin(« -h «' v''— ' ) = cos[ II — v^— I y

et l'on en conclura

(50) arcsin((^)) rr « + ('^— I =r arc ces ((,37)).

Si, dans la formule précédente, on substitue les diverses valeurs de arccos((a^)), dont l'une a été désignée par la notation arccos(a?) ou arccos^, on obtiendra les diverses valeurs de arcsin((^)), dont l'une

sera désignée par la notation arcsin(ii7) ou arcsina:-, et déterminée par l'équation

(5i) arcsinjcr=- — arccoso^.

A l'aide des principes que nous venons d'établir, il est aisé de reconnaître les propriétés les plus essentielles dont jouissent les fonctions de la variable imaginaire x représentées par les notations

k^, coso", sin^,

\uX, arccosx, arcsin^.

Pour obtenir ces propriétés, il sulfît d'étendre les formules que ces fonctions vérifient dans le cas où la variable x est réelle, au cas où la variable devient imaginaire. Cette extension s'effectue d'ordinaire sans difficulté pour chacune des trois fonctions

A^, cos^, sinjc.

Ainsi, par exemple, A, B, C, ... désignant plusieurs nombres, on prouvera facilement que les équations

i A^xV^A^ . .=; A^-^^"+=+---, j A^B-^C/...= (ABC...)^,

( cos(^ H- j) = cosj:' cosj — siii^ siny, ( siii(^ -\- y)-=z. sin^ cos}' + siiiy cosx

subsistent également pour des valeurs réelles et pour des valeurs imaginaires quelconques des variables x, y^ z, Mais, si l'on considère

des formules dans lesquelles entrent les fonctions inverses

La-, arc cos ^, arcsin^,

on trouvera le plus souvent que ces formules, étendues au cas où les variables deviennent imaginaires, ne subsistent plus qu'avec des restrictions considérables, et pour certaines valeurs des variables dont il s'agit. Par exemple, si l'on fait