CHAPITRE X

SUR LES RACINES RÉELLES OD IMAGINAIRES DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES DONT LE PREMIER MEMBRE EST UNE FONCTION RATIONNELLE ET ENTIÈRE d'uNE SEULE VARIABLE. RÉSOLUTION DE QUELQUES ÉQUATIONS DE CETTE ESPÈCE PAR l'aLGÈBRE OU LA TRIGONOMÉTRIE.

§ I. — 0/i peut satisfaire à toute équation dont le premier membre est une fonction rationnelle et entière de la variable x par des valeurs réelles ou imaginaires de cette variable. Décomposition des polynômes en facteurs du premier et du second degré. Représentation géométrique des facteurs réels du second degré.

Considérons une équation algébrique dont le premier membre soit u?5e fonction rationnelle et entière de la variable x. Si n représente le degré de cette équation, elle pourra se mettre sous la forme

( I ) ao ^" H- «1 x"'-'^ H- «2 x^~'^ 4- . . . + an-\ X -Jr an=o,

a„, a,, «2» • • •» ^«-1» <^rt étant des coefïîcients constants réels ou imaginaires. On appelle racine de cette même équation toute expression réelle ou imaginaire qui, substituée à la place de l'inconnue x, rend le premier membre égal à zéro. Supposons d'abord, pour fixer les idées, que les constantes Uq, a^, a^, ..., a„ se réduisent à des quantités réelles. Alors, si deux valeurs réelles de x substituées dans le premier membre de l'équation (i) fournissent deux résultats entre lesquels zéro se trouve compris, c'est-à-dire deux résultats de signes contraires, on conclura du Chapitre II (§ II, théorème IV) que l'équation (i) admet une ou plusieurs racines réelles comprises entre ces valeurs. II en résulte que toute équation de degré impair aura au moins une racine réelle. En effet, si n est un nombre impair, le premier membre