PREMIERE PARTIE. — CHAPITRE X

de l'équation (i) changera de signe, avec son premier terme aç^c(f\ toutes les fois qu'en attribuant à la variable x des valeurs numériques très considérables on fera passer cette variable du positif au négatif (voirie théorème VIII du Chapitre II, § I).

Lorsque n devient un nombre pair, la quantité x"- demeurant positive tant que la variable x est réelle, le premier membre de l'équation (i) finit par être, pour de très grandes valeurs numériques de x, constamment de même signe que a^. Si, dans la même hypothèse, «„ et <2y sont de signes contraires, le premier membre changera évidemment de signe, lorsqu'on passera d'une très grande valeur numérique de X à une très petite, en laissant la variable toujours positive ou toujours négative. L'équation (i) aura donc alors deux racines réelles : l'une positive et l'autre négative.

Lorsque, n étant un nombre pair, a^ et «„ sont de même signe, il peut arriver que le premier membre de l'équation (i) reste, pour toutes les valeurs réelles de x, de même signe que a^^, sans jamais s'évanouir. C'est ce qui a lieu, par exemple, pour chacune des équations binômes

Dans un cas semblable, l'équation (i) n'aura plus de racines réelles; mais on y satisfera en prenant pour x une expression imaginaire

M, V désignant deux quantités réelles et finies. Cette proposition et celles que nous venons d'établir se trouvent renfermées dans le théorème suivant :

Théorème 1. — Quelles que soient les t)aleurs réelles ou les valeurs imaginaires des constantes a^, a^, . . ., ««,, a^, l'équation

(i) a^x'^ -V- aiX"-^ + . . .+ a„ia; + «,j=^ o,

dans laquelle n désigne un nombre entier égal ou supérieur à l'unité, a toujours des racines réelles ou imaginaires.

Démonstration. — Désignons, pour abréger, par f{jc) le premier membre de l'équation (i) : f{x) sera une fonction réelle ou imaginaire, mais toujours entière, de la variable x\ et, puisque toute expression réelle u se trouve comprise comme cas particulier dans une expression imaginaire w + ^ y^— i , il sufïira, pour établir le théorème énoncé, de démontrer généralement qu'on peut satisfaire à l'équation

en prenant

puis attribuant aux nouvelles variables u ei v des valeurs réelles. Or, si l'on substitue la valeur précédente de x dans la ïonci\on f{x), le résultat sera de la forme

cp(w, t^), y^(u,ç) désignant deux fonctions réelles et entières des variables u et ç. Gela posé, l'équation (i) deviendra

9(«, v)-]-\/—i x(«» ^) = o; et, pour y satisfaire, il suffira de vérifier les deux équations réelles

[ cp(«, i') = o,

OU, ce qui revient au même, l'équation unique