PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE II

m désignant un nombre entier, la fonction simple

admet constamment trois valeurs singulières, savoir :

lorsque ( «* étant un nombre pair, (—oc)' a-—.-\-m \ m étant impair ( — oo)'

lorsque ( /« étant pair (—«2)

a =- -~- m { m étant impair (— oc)

Considérons maintenant les fonctions composées d'une seule variable X. Quelquefois il est aisé de trouver leurs valeurs singulières. Ainsi, par exemple, si l'on désigne par k un nombre entier quelconque, on reconnaîtra sans peine que la fonction composée

sin^

tans:^:- =

cos^

a ses valeurs singulières comprises dans les trois formules

■ tang((oo)) =T M((— GO, + Gc)),

tang( 1 ikr.

tang((— 00)) = M((— 00, + Go)), tandis que les valeurs singulières de la fonction inverse

arc tang^ — arc sm

sont respectivement

arctang(— 00) = , arclang(Qo)

Mais souvent aussi de semblables questions présentent de véritables difficultés. Par exemple, on n'aperçoit pas immédiatement comment on peut déterminer la valeur singulière de la fonction

lorsqu'on y suppose a? = o, ou celle de la fonction

lorsqu'on prend ^ = oo. Pour donner une idée des méthodes qui conduisent à la solution des questions de cette espèce, je vais établir ici deux théorèmes à l'aide desquels on peut, dans un grand nombre de cas, déterminer les valeurs singulières que reçoivent les deux fonctions

lorsqu'on y suppose x = oc.

Théorème I . — Si, pour des valeurs croissantes de x, la différence

converge i^ers une certaine limite k, la fraction

convergera en même temps vers la même limite.

Démonstration. — Supposons d'abord que la quantité k ait une valeur finie, et désignons par £ un nombre aussi petit que l'on voudra. Puisque des valeurs croissantes de x font converger la différence

vers la limite k, on pourra donner au nombre h une valeur assez considérable pour que, x étant égal ou supérieur à A, la différence dont il s'agit soit constamment comprise entre les limites

Cela posé, si l'on désigne par // un nombre entier quelconque, cha-