PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE X

D'abord, pour déterminer la valeur générale de la fonction F(«, ç), on représentera chacune des constantes réelles ou imaginaires a^, af, ...,«„,, a,t, ainsi que la variable imaginaire u-h^yj—i, par le produit d'un module et d'une expression réduite; et l'on écrira, en

conséquence,

«0 =-.po (cos^o -i-\/—i sinOo ),

ai =pi (cosôi 4- \/— I sin0i ),

(5) [ ;„!=: P;j i(cos9„i+v/—i sin5„,),

(6) u + f v/— I = r(cost-\~ \/—i s'mt). On aura, par suite,

= por"[cos(n«+ 9o) + V'— i sin(«^ + Oq)] il) { 4- pi r"-* [cos( /i — I . ^ + 9, ) 4- v^^^ àin(n — i.t-{-9i)]

+ p„i/-[cos(^+ 9„i)4- v/— ï sin(^ + 9„,)] 4- p„(cos9„4- v^'^sinÔ^);

et l'on en déduira

(f){u,ç) = po/-"COS(«f + ^o) + Pi''""^ COs(/l — I .f 4- 9i) 4-. .. . . ..4- p„i/-C0S(^4- 9„i)4-p„COs9„,

5^(a, (;) z= po^" sin(/ii 4- 9o) 4- pi /"'*""' sin(/i — i .i 4- 9i) 4-. . . ... 4- p«i r sin ( i -4 9„i ) + p„ sin 6„,

F(m, ^') =: [por"COS(/i^-|- 0o) + pi /■''"* COs(/i — I .^ 4- 9i) 4-. . .

. . .-hp„ircos(i4- 9„i) + p„COS0„]^

4- [po^'* sin(/i^-i- ^o) -i- Pi'''*"' sin(/i — I .i 4- 9i) 4-. . . .. .-4 p„ir sin(f 4-0„-i)4-pn sin9„P

^ r^n [pî + 2popiCOS(f 4-00-9.)

p^ 4- 2 po pa CCS (2^4- 00 — ^2 )

Il résulte de cette dernière formule que la fonction F(m,p), toujours évidemment positive, est le produit de deux facteurs, dont l'un, savoir

croîtra indéfiniment si l'on attribue aux variables u, v, ou à l'une d'elles seulement, des valeurs numériques de plus en plus grandes, tandis que l'autre facteur convergera dans la même hypothèse vers la limite p^, c'est-à-dire vers une limite finie différente de zéro. On en conclura que la fonction F(w, v) ne peut conserver une valeur finie qu'autant que les deux quantités u, v reçoivent elles-mêmes des valeurs de cette espèce, et devient infiniment grande dès que l'une des deux quantités croît indéfiniment. De plus, comme l'équation (4) donne pour F(m, v) une fonction entière, et par conséquent une fonction continue des variables u et v, il est clair que F(m, v), variant avec elles par degrés insensibles, et ne pouvant s'abaisser au-dessous de zéro, atteindra une ou plusieurs fois une certaine limite inférieure qu'elle ne dépassera jamais. Représentons par A cette limite, et par «0» ^'o un des systèmes de valeurs finies de u et de r, pour lesquels F(m, v) se réduit à A, en sorte qu'on ait identiquement

(lo) Y{uo,v^)~k.

La différence F(«, v) — F(mu, ('„) ne s'abaissera jamais au-dessous de zéro; par conséquent, si l'on fait

(il) u=iUf)-{-och, ç= Vo-+- (xk,

a désignant une quantité infiniment petite, et h, k deux quantités finies, l'expression

¥{uo-i- oc/i, Vo+ xk) — F{uo,i^o)

ne sera jamais négative. En partant de ce principe, il sera facile de déterminer la valeur de la constante A, ainsi qu'on va le faire voir.

Si dans l'expression imaginaire /{u -+- v\J— i) on substitue pour // et ^ leurs valeurs données par les formules (ir), cette expression,