PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE X

devenant alors une fonction imaginaire et entière du produit

pourra être développée suivant les puissances entières et ascendantes de ce même produit. En désignant par

R (cosT +v/^^sinT ),

Ri (cosTi + \J— \ sinTi ),

R„(cosT„+v/^^sinT„)

les coefficients imaginaires de ces puissances dont quelques-uns peuvent se réduire à zéro, et faisant, pour plus de commodité,

(12) /^ + A-\/— 1 = p(cos0 4- v^— I sin0),

on obtiendra l'équation

i/[woH- ^>o^— !-+-«(/« + A-y/'— i)j = R(cosT-i-v/-TsinT) 1 +aR,p[cos(T, + 0) + vA=^sin(Ti + 0)]+...

\ . . .+ a''R„p"[cos(T„ + nQ)-^\/'^ sin(T„ + nQ)\,

dans laquelle les termes du second membre, et par conséquent les

modules

R, Ri, ..., R„,

ne sauraient s'évanouir tous en même temps. Comme on aura d'ailleurs

( — cp(i<o+ «/«, ('0+ a^) -t- V^"" ^ X("o+ «ît^j ^^0+ a^)»

on conclura de l'équation (i3)

9(mo+ a/<, t'o-T- 01. k)

= RcosT-r-aR,pcos(T, + 9)+.. . + a«R„p" cos(T„ + «9), (i5)

— R sinT+aR,p sin(T, -+- 9) +. . .+ a«R„p» sin(T„4-«0),

/ F(mo+ a>'^ <'o-H <^k) (i6) ! = [RcosT + aRipcos(T, + 0) +.. . + a'^R„p'»cos(T„ + «9)]* ( -4-[R sinT + aR,p sin(T, + 9) +. . . -h a'^R„p" sin(T„+ «0)]^

Si dans cette dernière formule on pose a = o, on en tirera

Donc R^ = A, R = A" . Si maintenant on développe le second membre de l'équation (i6) suivant les puissances descendantes de R, et que

l'on y remplace ensuite R par A^ , cette équation deviendra

(,^) I = A -t- 2 A^ap[Ri cos(ï, - T + 5) +. . . + a"-'p«-iR„ cos(ï„ - T -+- «0)] ^- ofT-f- j [R, cos(T, + 5) +. . . 4- a"-»p''-»R„ cos(T„ + ne)Y + [R, sin(Ti + 9) +. . .+ a'^-ip'^-iR,, sin(T„ + nQ)f\;

et, si l'on fait passer dans le premier membre la quantité A = F(wo, ^o)» on trouvera définitivement

(jg) ] r=2A^ap[R, cos(T, — T + ô)+...+ 3(»-ip"-'R„cos(T„-T + nÔ)] + a2p2j [RjCOs(T, + 9)+...-i-a'^-»p«-'R„cos(T„4-«0)]* + [R, sin(Ti -^ 9) +. . .+ a'^-V'^-'R/t sin(T„ + nQ)Y\.

Cela posé, puisque la différence

ne doit jamais s'abaisser au-dessous de la limite zéro, il faudra de toute nécessité que, pour de très petites valeurs numériques de a, le second membre de l'équation précédente, et par suite le premier terme de ce second membre, c'est-à-dire le terme qui renferme la plus petite puissance de a, ne puisse devenir négatif. Or, en désignant par R„, la première des quantités

R,, Rj, . . ., R„