PREMIERE PARTIE. - CHAPITRE X

qui obtient une valeur différente de zéro, on trouvera, pour le terme

dont il s'agit,

2A' a'"p'"R,„ cos(T,„ — T + /«0),

si A n'est pas nul, et

a^"'p2"'Rf„

dans l'hypothèse contraire. De plus, comme, la valeur de l'arc 6 étant tout à fait indéterminée, on peut en disposer de manière à donner au

facteur

cos(T,„ — T + m9),

et par conséquent au produit

2A2'a'"p"'R,„ cos(T„, — T + mô),

tel signe que l'on voudra, il est clair que la seconde hypothèse reste seule admissible. On aura donc nécessairement

(ig) Ai=o,

ce qui réduira l'équation (lo) à

Il en résulte que la fonction F(w, ç) s'évanouira si l'on attribue aux variables m, v les valeurs réelles m,,» ^oî et, par suite, que l'on vérifiera l'équation

en prenant

En d'autres termes, «0+ ^'os/— i î^era une racine de l'équation

La démonstration précédente du théorème 1, quoique différente en plusieurs points de celle qu'en a donnée M. Legendre (Théorie des Nombres, P^ Partie, § XIV), est fondée sur les mêmes principes.

OEui>resdeC. — S.U,l.in. 36

Corollaire. Le polynôme

s'évanouissant, ainsi qu'on vient de le dire, pour

sera, en vertu du théorème I (Chapitre VIII, § IV), algébriquement divisible par le facteur

Le quotient, ne pouvant être qu'un nouveau polynôme du degré n — i par rapport à x, sera encore nécessairement divisible par un nouveau facteur de même forme que le précédent, c'est-à-dire du premier degré par rapport à x. Désignons par

X — Mj — (^1 \J — I

ce nouveau facteur. Le polynôme /(.r) sera équivalent au produit des

deux facteurs

X — «0 — <'o V'— ' » X — iii— t'i v'— I

par un troisième polynôme du degré n — 2. On prouvera que ce troisième polynôme est divisible par un troisième facteur semblable aux deux autres; et, en continuant à opérer de la même manière, on finira par obtenir n facteurs linéaires du polynôme /(a;). Soient respectivement

ces mêmes facteurs. En divisant le polynôme /(a?) par leur produit, on trouvera pour quotient une constante évidemment égale au coefficient «„ de la plus haute puissance de x dans f{x). On aura, en conséquence,

(9.1) f{x)~aQ(x— «0— <'oV— 0 (-^— «1— t'i v'--^) . . • (^— «H-i — «^«-1 v'--"')-

Cette dernière équation renferme un théorème que l'on peut énoncer ainsi qu'il suit :