PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE X

une racine imaginaire

a + Sv^— X .

Ces remarques suffisent pour établir la proposition suivante :

Théorème III. — Quelles que soient les l'aleurs réelles ou les valeurs imaginaires des constantes a^, a^, . . . , «„, , ««, l équation

a toujours n racines réelles ou imaginaires, et n'en saurait avoir un plus grand nombre.

Il peut arriver que plusieurs des racines de l'équation (i) soient égales entre elles. Dans ce cas, le nombre des valeurs différentes de la variable propres à vérifier cette même équation devient nécessairement inférieur à n. Ainsi, par exemple, l'équation du second degré

x'^ — rtax -\- a-= o

ayant ses deux racines égales, on ne pourra y satisfaire que par une seule valeur de x, savoir

Lorsque les constantes ««» ^i » • • • » (^n-\ •> ^n ''Ont toutes réelles, l'expression imaginaire

ne peut évidemment être une racine de l'équation (i), sans que l'expression conjuguée

soit une autre racine de la même équation. Par conséquent, dans cette hypothèse, les facteurs imaginaires et linéaires du polynôme qui forme le premier membre de l'équation (i) sont deux à deux conjugués et

de la forme

Le produit de deux semblables facteurs étant un polynôme réel du second degré, savoir

on déduit immédiatement de l'observation qu'on vient de faire le théorème suivant :

Théorème IV. — Lorsque <7„, «, , . . . , ««, , a,^ désignent des constantes réelles, le polynôme

est décomposahle en facteurs réels du premier ou du second degré.

Dans ce qui précède, nous avons présenté les racines imaginaires de l'équation (i) sous la forme

Alors, pour le polynôme (24), un facteur réel du second degré correspondant à deux racines imaginaires conjuguées

a -i- ê V ~ ' > oc — ê v'— I

était de la forme

Si l'on fait, pour plus de commodité,

a zh êy'— i = p(cosÔ zb y — I sin0)

(p désignant une quantité positive et G un angle que l'on pourra supposer compris entre les limites o, 7:), le même facteur réel du second degré deviendra

(a; — p cos6)^+ (p sin0)-=:.r-— 2p^ cos9 + p-.

H est facile de construire géométriquement cette dernière expression dans le cas où l'on attribue à la variable x une valeur réelle. En effet, si l'on trace un triangle dans lequel un angle soit égal à 0, les deux côtés adjacents étant respectivement représentés l'un par la valeur numérique de x, l'autre par le module p, le carré du troisième côté sera (d'après un théorème connu de Trigonométrie) la valeur du

trinôme

.-r- — 2px cosO -h- p-,