PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE X

toutes les fois que la variable x sera positive. Si la variable x devient négative, il suffira de remplacer dans la construction indiquée l'angle 6 par son supplément.

Le troisième côté du triangle dont il est ici question ne peut s'évanouir que dans le cas où les deux premiers côtés tombent sur une même droite, et où leurs extrémités coïncident, ce qui exige : i° que l'angle 6 se réduise à zéro ou à ir; 2" que la valeur numérique de ^ soit égale à p. Par suite, le facteur

a;-~ 2px cos9 -+- p-

ne pourra devenir nul pour une valeur réelle de x, à moins que l'on

ne suppose

cos6-ri ou cos9 = — i;

et la seule valeur de x propre à faire évanouir ce facteur sera, dans la première hypothèse,

ÛC zzz p,

dans la seconde,

On arriverait directement au même but en observant que l'équation

x''- — 2p^COSÔ + p-mo

a deux racines

p(cos9 4- V''— I sin9), p(cos9 — v/~" ' sin0),

qui ne peuvent cesser d'être imaginaires sans devenir égales, et que

les seules valeurs de 0 capables de produire cet effet sont celles qui •

vérifient la formule

sin9=ro,

de laquelle on tire et, par conséquent,

pour la valeur commune des deux racines.

Jusqu'à présent, nous nous sommes bornés à déterminer le nombre

des racines de l'équation (i), avec la forme de ces mêmes racines et celle des facteurs qui leur correspondent. Nous allons, dans les paragraphes suivants, passer en revue quelques cas particuliers dans lesquels on est parvenu à résoudre de semblables équations, sans être obligé de concevoir leurs coefficients convertis en nombres, et à exprimer les racines en fonctions algébriques ou trigonométriques de ces coefficients. Nous observerons ici à ce sujet que, dans toute équation algébrique dont le premier membre est une fonction rationnelle et entière de la variable x, on peut réduire par la division le coefficient de la plus haute puissance de a? à l'unité, et celui de la puissance immédiatement inférieure à zéro par un changement de variable. En effet, si dans l'équation

«„ n'est pas égal à i, il suffira de diviser l'équation par a,, pour réduire le coefficient de x" à l'unité; et, si dans une équation mise sous la forme

a, n'est pas nul, il suffira de poser

pour obtenir une transformée en z du degré n, qui n'ait plus de second terme, c'est-à-dire une transformée dans laquelle le coefficient de z"~^ s'évanouisse.

§ II. — Résolution algébrique ou trigonomélrique des équations binômes et de quelques équations trinômes. Théorèmes de Moivrk et de Cotes.

Considérons l'équation binôme

p désignant une quantité constante. On en tirera