PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE X

ou, si l'on désigne par p la valeur numérique de/?,

œ" 1= it p.

On aura donc à résoudre l'équation

si — p est positif, et la suivante

si — /? est négatif. On satisfait à la première en prenant

(4) ■^~ = ((p)r^p"((or,

et à la seconde en prenant

il i

Quant aux diverses valeurs de chacune des deux expressions ((i))",

((— i))", elles sont toujours en nombre égal à n (voir le Chapitre VII, § III), et se déduisent des deux formules

[ // ^J, ^A-TT , , . ikT.

\ ((i))"=:cos ±: V— I sin ,

f ((-i))"=cos --^±:v/-isin ,

dans lesquelles il suffit d'attribuer successivement à k toutes les

valeurs entières qui ne surpassent pas -• Lorsque n est un nombre

pair, la première des équations (G) fournit deux valeurs réelles de

((i))", savoir +i et — i, correspondantes l'une à ^- = o, l'autre à

k= -■ Dans la même hypothèse, toutes les valeurs de ((— i))" sont

imaginaires. Lorsque n devient un nombre impair, l'expression ((i))" a une seule valeur réelle -+- 1 correspondante à â- = o, et l'expres-

OF.uures de C. — S. II, t. III. ^ 87

sion ((— i)y' une seule valeur réelle — i correspondante li k = "" ^.

Par suite, l'équation (i) admet deux racines réelles, ou n'en admet aucune, lorsque n est un nombre pair, et la même équation admet une seule racine réelle dans le cas contraire. De plus, on reconnaît immédiatement à l'inspection des formules (G) que les racines imaginaires sont conjuguées deux à deux, ainsi qu'on devait s'y attendre. Considérons maintenant l'équation trinôme

( 7 ) ôc-"^ + px'^ + q z=.o,

p, q désignant deux quantités constantes choisies à volonté. On en tirera

^^" + px'^ ^z- - q

et, par suite,

Si ^y q est positif, l'équation qui précède entraînera l'une des deux

suivantes :

en sorte que r" admettra deux valeurs réelles comprises dans la formule

Lorsque le nombre n se réduit à l'unité, la formule (9) fournit immédiatement les deux racines réelles de l'équation trinôme du second degré

Dans le cas contraire, en substituant la formule dont il s'agit à l'équa-