PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE II

cune dos quantités

et, par suite, leur moyenne arithmétique, savoir

f(h^n)-~f{hY

se trouvera comprise entre les limites k — £, X- + s. On aura donc

— h. -r- se,

a étant une quantité comprise entre les limites — £,+£. Soit maintenant

L'équation précédente deviendra

et l'on en conclura

/(^)z=/(/a) -^{x-h) {f:+CC),

(2) IA:^^ ./All^ + ,„ 11 (A- + a).

De plus, pour faire croître indéfiniment la valeur de x, il sufïira de faire croître indéfiniment le nombre entier n sans changer hi valeur de A. Supposons, en conséquence, que dans l'équation (2) on considère h comme une quantité constante, et x comme une quantité variable qui converge vers la limite ce. Les quantités

fih) h

renfermées dans le second membre, convergeront vers la limite zéro.

et le second membre lui-même vers une limite de la forme

k -\- Cf.,

a étant toujours compris entre — £ et -h £. Par suite, le rapport

aura pour limite une quantité comprise entre k — t et ^ -h £. Cette conclusion devant subsister, quelle que soit la petitesse du nombre £, il en résulte que la limite en question sera précisément la quantité k. En d'autres termes, on aura

(3). liiïi-^^zr-Â:=lim[/(a. + i)-/(^)]-

Supposons, en second lieu, k~yo. En désignant alors par H un nombre aussi grand que l'on voudra, on pourra toujours attribuer au nombre h une valeur assez considérable, pour que, x étant égal ou supérieur à h, la différence

qui converge vers la limite oo, devienne constamment supérieure à H; et, en raisonnant comme ci-dessus, on établira la formule

Si maintenant on pose h-\-n=-x, on trouvera, au lieu de l'équation (2), la formule suivante

de laquelle on conclura, en faisant converger x vers la limite 00,

lim=^-^-^ >H.

La limite du rapport