PREMIERE PARTIE. - CHAPITRE X

et ses facteurs réels du second degré seront de la forme

DZ(2A'+i)7r X- — irx cos ^ \- r-.

Dans Tune et l'autre hypothèse, on pourra construire géométriquement les facteurs réels du second degré par la méthode ci -dessus indiquée {voir\(b § I), toutes les fois que l'on attribuera des valeurs réelles à la variable x. Si l'on prend la valeur numérique de cette variable pour base commune de tous les triangles qui correspondent aux différents facteurs, et que dans chaque triangle on fasse aboutir constamment à une même extrémité de cette base le côté connu, représenté par r, on trouvera que les sommets des divers triangles coïncident avec les points de division d'une circonférence décrite du rayon r en parties égales. Il en résulte que, si l'on multiplie entre eux les carrés des lignes menées de la seconde extrémité de la base aux points dont il s'agit, le produit de ces carrés sera la valeur du trinôme

j.p.n i^ p ^^11 i^ q -- X-"' ±i 2r"^x'^ COsÇ -+• /'-".

Dans le cas particulier où (^ = o, le produit des lignes elles-mêmes représente la valeur numérique du binôme

laquelle se confond avec la racine carrée positive du trinôme

Des deux propositions qu'on vient d'énoncer, la première est le théorème de Moivre, et la seconde celui de Cotes.

§111. — Résolution algébrique ou trigonométrique des équations du troisième et du quatrième degré.

Considérons l'équation générale du troisième degré. On pourra toujours, en faisant disparaître le second terme de cette équation,

la ramener à la forme

(i) x'^ -\- px -\- q =-. o,

/?, q désignant deux quantités constantes. D'ailleurs, si l'on pose

X ^= Il + (',

u, ç étant deux nouvelles variables, on en conclura

X^:=r {(( -h «')':=: «'' + ('=* + SuVX,

(2) .^■=' — 3uçx — (u^ -\- V'^ ) =: O.

Pour rendre l'équation (2) identique avec la proposée, il suffira d'assujettir les inconnues u et ç aux deux conditions

(3) U^-Jr v^=z— q,

La résolution de l'équation (i) se trouve ainsi réduite à la résolution simultanée des équations (3) et (4).

Cherchons d'abord les valeurs de u^ et de c'. Si l'on fait

on aura, en vertu des équations (3) et (4),

et, par suite, en nommant z- une nouvelle variable,

(■3 — ^1) (g — ^2) ziz Z' -\~ (J Z — •

Il en résulte que ^,, z., seront les deux racines de l'équation

(6)- -^+^^^':3zO.

Ces deux racines étant connues, on déduira des formules (5) trois valeurs de u et trois valeurs de r, qui se correspondront deux à deux