PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE X

de manière à vérifier la formule (4). Soit U l'une quelconque des trois valeurs de //, et V la valeur correspondante de r, en sorte qu'on ait

Désignons en outre par a l'expression imaginaire

2 71 / . 2Tr

cos-5 — I- V — I sm-^;

f les trois valeurs de l'expression ((i))' seront respectivement

■nt f — . 2Tr I 3^ / — Cf. = cos -TT T- V ' I sin-„- = 1 \/-- I,

a-=cos-^5 V - I sm -77- := v' — i>

et les trois valeurs de u, évidemment comprises dans la formule généraie ((i))' U, deviendront

U, aU, a-U.

On trouvera, pour les valeurs correspondantes de ç,

tx OC- OU, ce qui revient au même,

V, a^V, aV.

Par conséquent, si l'on nomme a:,,, ^c,, ic^ les trois racines de l'équation ( i), on aura

Il est essentiel d'observer que, U, aU, a-U étant les trois valeurs de

u = ({z^)Y, et V, a'^V, aV les valeurs correspondantes de t-^— - — - — ^,

les racines x^^, x^, x.^, déterminées par les équations (7), seront respectivement égales aux trois valeurs de x données par la formule

Lorsque l'équation (6) a ses racines réelles, les formules (5) fournissent un système de valeurs réelles de w et de (^ qui se correspondent de manière à vérifier l'équation (4). Si l'on prend ces mêmes valeurs pour U et V, on reconnaîtra immédiatement que des trois racines x^^, x^, x., la première est nécessairement réelle, et les deux autres réelles ou imaginaires, suivant que la quantité

est nulle ou positive, c'est-à-dire suivant que l'équation (6) a ses racines égales ou inégales. Dans le premier cas, on trouve

Lorsque les racines de l'équation (G) deviennent imaginaires, on peut les présenter sous la forme

^i=rp(cosÔ + v/— I sinô), ^2=p(cosô — y/'^^ sinô),

le module p étant déterminé par l'équation

Comme on a, dans cette hypothèse,

((^.))' = p' (ces |+v/=^sin| ){(!))% la formule (8) se trouve réduite à

(9) ■^ = pn(cos^4-v/=^sin^]((i))"'+('cos^-V/~-Tsin|^ -^-l