X,=: 2 0'' COS
I ^,1= 2p'' COS
Ces trois dernières valeurs de x sont toutes réelles, et coïncident avec celles que fournit la formule (9).
Dans les calculs précédents, l'équation (6), dont la solution entraîne celle de l'équation (i), est ce qu'on appelle la réduite. Ses racines ^,, ^o équivalent nécessairement à certaines fonctions des racines cherchées a?», x^, x.,. Pour déterminer ces fonctions, il suffira d'observer que, U et V désignant des valeurs particulières de u et v, on aura, en vertu des formules (5),
On tire d'ailleurs des équations (7)
3U =: ^0-1- a-a?2+ «".3^, -=-- a(:c, + ax^ + a-^o) = a'-{x^ + olx^-^- arx.,), 3\ r= x^-{- axi-\- a^^'2= cf-{xi -!- ax2+ c^Xq) = «-(.Tj-f- y.X()-\- a-x^).
On trouvera donc, par suite,
^ "i-Zizzz (^0+ a^->4- a-^i)^= (-3:^2+ ^^\ + a^ro)^= (^, + a^oH- a''j:-,)% ( 27-32— (xo-i- a^,-t- a^^,)^— (■>«7i + a^2+ cC'Xç^y--=z {x.,+ ixXq-\- a-j-,)'*.
11 en résulte que s,, ^^ sont respectivement égales (à un coefficient numérique près) aux deux seules valeurs distinctes que présente le cube de la fonction linéaire
Xç)-\- c/.Xi-t- a-x^,
■ OEiwres de C. — S. Il, t. III. 38
lorsque dans cette fonction on échange entre elles les racines x^^, x^, x^ de toutes les manières possibles. Le coefficient numérique est évidemment 7,'. ou le cube de la fraction ^.
Considérons maintenant l'équation générale du quatrième degré. On pourra, en faisant disparaître le second terme, la ramener à la forme
p, q, r désignant des quantités constantes. Si l'on pose, en outre, w, V, w étant trois nouvelles variables, on en conclura
x''--:=i «^+ t'2 j ,y2^| 2(m(; -1- aw H- VW)
et, par suite,
OU, ce qui revient au même,
( x'* — 2 ( f<^ + (^^ H- tv^ ) j:'- — 8 UVW . X (i3)
Pour rendre cette dernière équation identique avec la proposée, il suffira d'assujettir les inconnues u, v, w aux conditions
/ 4 ( W^ -r P^ -i- tv^ ) =: — 2/?,
(i4) < %uvw=^ — q,
La résolution de l'équation (12) se trouve ainsi réduite à la résolution simultanée des équations (i4)-
Cherchons d'abord les valeurs de 4«"» 4^% 4^'- Si l'on fait
