PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE X
on aura, en vertu des formules (i/i),
et, par suite, en nommant z une nouvelle variable.
Il en résulte que :;,, z.^, ',, seront les trois racines de l'équation
et, puisque ces trois racines doivent vérifier la formule z^z.2z.^ — q-, on peut assurer que l'une d'elles sera positive, les deux autres étant toutes deux à la fois positives, ou négatives, ou imaginaires. Lorsqu'on aura déterminé ces mêmes racines, les deux premières des équations (i5) fourniront pour chacune des variables u et v deux valeurs égales, au signe près. Soient
les valeurs réelles ou imaginaires dont il s'agit; et W une quantité réelle ou une expression imaginaire déterminée par l'équation
8UVW--=-^.
Si dans la seconde des formules (i4) on suppose
ou bien
« :zr - u, «^ = - V,
on en tirera
Si l'on y fait, au contraire,
ou bien
on trouvera
De cette manière on obtiendra pour les variables u, v, w quatre sys-
ternes de valeurs propres à vérifier les équations (i4); et, si l'on représente par ir„, x^, x.,, x^ les quatre valeurs correspondantes de l'inconnue
on aura
Il est aisé de reconnaître que ces quatre valeurs de x seront toutes réelles, si l'équation (16) a ses trois racines positives, et toutes imaginaires, si l'équation (i6) a deux racines négatives inégales, tandis que deux valeurs seront réelles, et deux imaginaires, si l'équation (16) a deux racines négatives égales, ou deux racines imaginaires.
Par la méthode qu'on vient d'exposer, la résolution de l'équation (12) se trouve ramenée à celle de l'équation (16). Cette dernière, qu'on nomme la réduite, a nécessairement pour racines certaines fonctions des racines de la proposée. Si l'on veut déterminer ces fonctions, c'est-à-dire exprimer z^, z^, z.^ par le moyen de a?^, x-,, iCo, x.^, il suffira d'observer que, U, V, W étant des valeurs particulières de w, V, w, on a, en vertu des formules (i5).
On tire d'ailleurs des équations (17)
4 ' =^ <^o — JC^-\- x^ x^, 4 w = Xo — .Tj H- ^1 — ^'3.
On trouvera, en conséquence,
/ L\Z^^~- \Xq — X^-\- X^ — X-^) :zz(^j- — X(j-\- X'i— X<i)-^ (18) K [^,Z,^(^X^,~ X^^ X.^— X^y—{X^— X^-\- Xi— X^y,
