PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE XI

0(^0) n'étant pas nul, la constante A restera finie, et la différence

s'évanouira pour x = x^. Par suite, il en sera de même du polynôme

et ce polynôme sera divisible algébriquement par x — x^\ en sorte qu'on aura

(4) /(^)=rA9(a7) + (^'-Xo)z(^),

y (a?) désignant une nouvelle fonction entière de la variable x. Si l'on divise par F(.r) les deux membres de cette dernière équation, en ayant égard à la formule (2), on en conclura

(5) m--^ + ys-l

Donc, si l'on partage le polynôme F(a7) en deux facteurs dont l'un soit linéaire, on pourra décomposer la fraction rationnelle éy— ^ en deux autres qui aient pour dénominateurs respectifs les deux facteurs dont il s'agit, et dont la plus simple ait un numérateur constant.

Concevons maintenant que l'on partage la fonction F(a7) en deux facteurs dont le premier, au lieu d'être linéaire, corresponde à plusieurs racines de l'équation ^{x) = o. Prenons, par exemple, pour ce premier facteur le facteur du second degré

\X Xf^)\^X- ^1),

et posons, en conséquence,

(6) Y{^x) — {x — Xç,)<^x — x^)(i^{x).

fix)

La fraction ~—{ conservera une valeur finie, non seulement pour X = x^^, mais encore pour x = x^; et, si l'on désigne par 11 un poly-

nômc du premier degré qui, dans l'une et l'autre hypothèse, devienne égal à ^^^-TT' on trouvera (Chapitre IV, § I)

Le polynôme u étant déterminé, comme on vient de le dire, l'équation

comptera parmi ses racines x^ et x^ ; et par suite le polynôme

f{x) — uo{x) sera divisible par le produit

{X —Xq){x — Xy)..

On aura donc

f{x) — u<q{x) = {x — Xo) (x ~Xi)y^{x), f{x)=z uo{x) -^ {x — Xq) {x ~ Xi) i{x),

y (^) désignant une nouvelle fonction entière de la variable x. Si l'on divise la dernière équation par F(a^), en ayant égard à la formule (6), on en conclura

¥{x) ' [x — Xo){x — Xi) 9(^)

On prouverait de même qu'il suffit de poser

(10) Y{x) = {x — Xq) {x — x^) {x ^ x^) (ii{x)

— Xi) (x —^2)

— Xi) {Xo—Xi)

— Xo) (x — Xi)

— Xq){Xi — x.)

~Xn){x — Xi)

{X2—Xo){Xi — Xi)