PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE XI

pour obtenir une équation de la forme

etc.

Ainsi généralement, lorsque l'équation Y{x) = o n'a pas de racines égales, si l'on partage le polynôme F(a;) en deux facteurs dont le premier soit le produit de plusieurs facteurs linéaires, la fraction ratioii-

nelle ^^—^ sera décomposable en deux autres fractions de même espèce

qui recevront pour dénominateurs respectifs les deux facteurs cidessus mentionnés, et dont la première aura un numérateur d'un degré moins élevé que son dénominateur.

Je passe au cas où Ton suppose que 'l'équation Y {oc) = o a des racines égales. Soient, dans cette seconde hypothèse,

les diverses racines de cette même équation, et désignons par m' le nombre des racines égales à a; par m" le nombre des racines égales à b; par m'" \q nombre des racines égales à c, etc. La fonction ^{oc) sera équivalente au produit

ou à ce produit multiplié par un coefficient constant, et l'on aura

Cela posé, faisons

et

cp(fl) n'étant pas nul, la constante A restera finie, et la différence

OEuvresdeC- S. U, t. \\\. 89

â06 COURS D'ANALYSE.

s'évanouira pour x = a. On en conclura que le polynôme

f{x) — ko{x)

est divisible par x — a, et l'on aura, par suite,

(i5) f{x) — ko{x)-h{x — a)y^{x),

X(^) désignant une nouvelle fonction entière de la variable x. Enfin, si l'on divise par ¥(x) les deux membres de l'équation (i5) en ayant égard à la formule (i 3), on trouvera

On démontrerait, en raisonnant de la même manière, qu'il suffit de poser

et

pour obtenir une équation de la forme

/(•37). " ^ yJ^

§ II. — Décomposition d'une fraction rationnelle, dont le dénominateur est le produit de plusieurs facteurs linéaires inégaux, en fractions simples qui aient pour dénominateurs respectifs ces mêmes facteurs linéaires et des numérateurs constants.

Soit

la fraction rationnelle que Ton considère; m le degré de la fonction F(^), et *

Xq, Xif X2, • ' • y •^nt—X