PREMIERE PARTIE. - CHAPITRE II

sera donc supérieure au nombre H, quelque grand qu'il soiL Celle limite supérieure à tout nombre assignable ne peut être que l'infini positif.

Supposons enfin ^' = — oc. Pour ramener ce dernier cas au précédent, il suffira d'observer que, la différence

f{oo + i)-f{x)

ayant pour limite — ce, la suivante

aura pour limite -hoc. On en conclura que la limite de ~" -^ ^ ^'^ ^ est

éa;ale à + ce, et par suite celle de -^—^ à — œ. *

Corollaire /. — Pour montrer une application du théorème précé-

/ dent, supposons

L étant la caractéristique des logarithmes dans un système dont la base surpasse l'unité. On trouvera

et, par suite,

On peut donc affirmer que, x venant à croître indéfiniment, le rapport

convergera vers la limite zéro; et il en résulte que, dans un systèrm^ dont la base est supérieure à V unité, les logarithmes des nombres croissent beaucoup moins rapidement que les nombres eux-mêmes.

Corollaire II. — Supposons, en second lieu,

CEuvres de C. — S. U, t. UI. 8

A désignant un nombre supérieur à l'unité. On trouvera

/(^ + i) — /(^) = A^+'— A-^== A^(A — i) et, par suite,

/f=:A"(A-l)=:ûO.

On peut donc affirmer que, x venant à croître indéfiniment, le rapport

converge vers la limite =c, et il en résulte que l'exponentielle A-^, lorsque le nombre A surpasse l'unité, finit par croître beaucoup plus rapidement que la variable x.

Corollaire III. — On doit observer, au reste, qu'il n'y a lieu à chercher par le théorème I la valeur du rapport

correspondante \\ x = ^, que dans le cas où la fonction f{x) devient infinie avec la variable x. Si cette fonction restait finie pour a? — oc,

le rapport ■' aurait évidemment zéro pour limite.

Je passe au théorème qui sert à déterminer dans plusieurs cas la valeur de

pour ^ = oc. Voici en quoi il consiste :

Théorème II. — Si, la fonction f(x) étant positive pour de très grandes

valeurs de x, le rapport

converge, tandis que x croit indéfiniment, vers la limite k, l'expression convergera en même temps vers la même limite.