PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE XL

pour A et B deux quantités réelles propres à vérifier la formule

(.8) /(iL±ii^^A-Bv'^,

F,(^) représentant toujours le coefficient de z dans le développement de ¥(x -h Z-). On aura nécessairement

et par suite, si l'on décompose la fraction rationnelle -p)—^' les deux fractions simples correspondantes aux facteurs linéaires conjugués

X ^ Cf. — ê y/— I , ^ — a + 6 y' — I

seront respectivement

, , A-Bv/"7 A + By/^

En ajoutant ces deux fractions, on obtiendra la suivante :

ik{x — a) 4- 2B0

Cette dernière, qui a pour numérateur une fonction réelle et linéaire de la variable x et pour dénominateur un facteur réel du second degré du polynôme F(a7), ne diffère pas de la fraction

que renferme la formule (9) du paragraphe I, dans le cas où l'on suppose

OEuvres de C. — S. U, t. \\\. [\0

§ III. — Décomposition d'une fraction rationnelle donnée en d'autres plus simples qui aient pour dénominateurs respectifs les facteurs linéaires du dénominateur de la première, ou des puissances de ces mêmes facteurs, et pour numérateurs des constantes.

Soient

la fraction rationnelle que l'on considère, m le degré du polynôme F(ir), et

les diverses racines de l'équation

On aura, en désignant par k un coefficient constant, et par ni , m" , ni" , . . . plusieurs nombres entiers dont la somme sera égale à m,

(2) * Y{x)~k{x — a)"''{x — by""{x — cy'"'

Cela posé, si l'on fait usage de la méthode exposée dans le paragraphe I, on décomposera la fraction rationnelle •—— en deux autres dont la première sera de la forme

tandis que la seconde aura pour dénominateur

F ( jr ) -— ^ — '- --. k(x ~~ a)'»'-» (x^ by"' ix -~ c)'""

En décomposant cette seconde fraction rationnelle par la même méthode, on obtiendra : 1° une nouvelle fraction simple