PREMIÈRE PARTIE - CHAPITRE XI

dans laquelle A, représentera une constante; 2" une fraction qui aura pour dénominateur

En continuant ainsi, on fera disparaître successivement du polynôme Y{x) les différents facteurs linéaires dont se compose la .puissauce (x — a)'" ; et, lorsqu'on aura extrait de i,--^ une suite de frac-

lions simples de la forme

le reste sera une nouvelle fraction rationnelle dont le dénominateur

se trouvera réduit à

k{cc— b)'"" {jc — c)'"'"

Si de ce reste on extrait une seconde suite de fractions simples de la

forme

^^ Bj B2 B„,"-i

on obtiendra un second reste dont le dénominateur sera

Enfin, si l'on prolonge ces opérations jusqu'à ce que le polynôme F(a7) se trouve réduit à la constante k, le dernier de tous les restes sera une fonction rationnelle à dénominateur constant, c'est-à-dire une fonction entière de la variable x. Appelons R cette fonction entière. On

f(x) aura définitivement pour la valeur de jr — décomposée en fractions

simples

(3) { {jc — b}'"" {x — b)'"""^

A, A, , . . . , A„,, ; B, B, , . . . , B,„', ; G, C, , . . . , C„r- , ; . . . désignant des constantes que l'on peut facilement déduire des principes exposés dans le paragraphe I, ou calculer directement à l'aide des considérations suivantes.

Faisons, pour plus de commodité,

Q sera une nouvelle fonction entière de la variable x, et l'équation (3) deviendra

/(^) A Al , A,,^^, 0

Si l'on multiplie les deux membres de cette dernière par

F(^) " k{x — a)'"' {x— b)'"" {x ~ c)'"'" . . ., on en conclura

(5) /(^) = [A + A,(^-«)^...+ A,„-,(^-a)'"~']^^-^^y^, 4^AQ(.:r-r/)"'';

et par suite, en faisant

X —z a -h Zf

on trouvera

Z désignant la valeur du polynôme ^Q exprimée en fonction de z. Supposons maintenant que la substitution de x -h z, au lieu de x, dans les fonctions /(o^) et F(j7), donne généralement

j f{x-+-z)^^/{x)-+-zf,{x) + i\f,(-r) + ...,

(7) \ F{x-^z):rr:¥{x)^zl\{x)-\-z''l\{x)^...

(lO)