PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE XI

On aura, en prenant œ = a -}- z, et observant que le développement de

la fonction

doit être divisible par (x — a)'"' ^ z"'',

! ¥{a + z.) := [ F,„- {a) + z F,„ ^i ( « ) + -' F„,.+, ( « ) -4- . . . ] 5 '«'; (9) F(a)--o, Fi{a)r=o, ..., F,„', (a) =: o.

Cela posé, la formule (6) se trouvera réduite à

( =-- ( A + Ai^ -f- A2 3^ + . . .) [F„,.(a) + z F,„-^i{a) + z' F„,-^, ( a) + . . .] -f- s'«'Z,

et l'on en tirera, en égalant dans les deux membres les coefficients des puissances semblables de z,

' fi{a) —\^F,n\a) + A,F,„-+i(a) + AF,„-+2(«),

On trouvera par un calcul entièrement semblable

//(6)=BF„,»(6), /i(6)r.rB,F,„"(^>) + BF„,»^,(6), f,{h) = (J2) \f{c)=CF„r{c), /,(c)=:G, F„r(c)+CF,„^^,,(c), Me) ^ .

Ces diverses équations suffiront pour fixer complètement les valeurs des constantes A, A,, Ao, . . . , B, B,, B2, . . . , C, C,, C, Elles donneront, par exemple,

A /i( ^ — AF,„-^,(a) (i3) { ' " 'F,„(«)

Ma) — A, F„, ■+,(«) — A F;„ ■+,(«)

Les constantes ainsi déterminées étant évidemment indépendantes du

mode employé pour la décomposition de la fraction rationnelle r. — :>

il en résulte que celte fraction est décomposable d'une manière seulement en fractions simples de la forme de celles que renferme le second membre de l'équation (3 ).

Il est aisé de voir que la première des équations (i3) s'accorde avec la formule (iZ|) du paragraphe L En effet, la quantité F„/(«) est ce que devient le polynôme

lorsqu'on y fait z =^ o ou x = a; ai par suite, si l'on pose

on aura

Dans le cas où, les fonctions f{x) et ^{x) étant réelles l'une et l'autrCj l'équation Y{x) — o admet m' racines égales à a 4- êy — i » la même équation admet encore m' racines égales conjuguées aux premières, et par conséquent représentées par

Dans cette hypothèse, si, après la décomposition de la fraction rationnelle

on réunit deux à deux les fractions simples qui ont pour dénominateurs

i^x — a — êy/'— i)'" et (x — a-i-6y — i)'",

{x — a — Q\/ --i)'" '^ et (^ — a + 6 V''— i)'""',