CHAPITRE XII

DES SÉniES RÉCUHRENTES.

§ 1. — Considérations générales sur les séries récurrentes. Une série

ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de la variable X, est appelée récurrente, lorsque dans cette série, considérée à partir d'un terme donné, le coefficient d'une puissance quelconque de la variable s'exprime en fonction linéaire des coefficients des puissances inférieures pris en nombre fixe, en sorte qu'il suffise de recourir aux valeurs de ces derniers coefficients pour en déduire celui que l'on cherche. Ainsi, par exemple, la série

(2) i, ix, ox^, ..., {n-\-\)x^, ...

est récurrente, attendu que, si l'on fait

a„ = /i + I , on aura constamment, pour des valeurs de n supérieures à l'unité,

En général, la série (i) sera récurrente, si, pour toutes les valeurs de n supérieures à une certaine limite, les coefficients

de plusieurs puissances consécutives de x se trouvent liés entre eux

OEuvre.i(leC.— S.U,t.lll. ^l

par une équation du premier degré. Soit

(4) kûn-m-i- /«„,„+! + ...-f-/?a«i + Ya„—o

l'équation dont il s'agit, k, l, ...,p,q désignant des constantes déterminées. La suite de ces constantes formera ce qu'on appelle Véchelle de relation de la série, échelle dont les constantes elles-mêmes seront les différents /er/72e.y.

Dans la série (i), supposée récurrente, la variable x et les coefficients Oq, a^, a.^, '"■, a^ peuvent être ou des quantités réelles, ou des expressions imaginaires. Cela posé, représentons par çi^ le module de l'expression «„, et par conséquent la valeur numérique de cette expression, lorsqu'elle est réelle. On conclura immédiatement des principes établis dans les Chapitres VI et IX que la série (i) sera tantôt convergente, tantôt divergente, suivant que le module ou la valeur numérique de x sera inférieur ou supérieur à la plus petite des limites vers lesquelles converge, tandis que n croît indéfiniment, l'expres-

sion (p„) ".

§ II. — Développement des fractions rationnelles en séries récurrentes.

Toutes les fois qu'une fraction rationnelle peut se développer en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de la variable, cette série est en même temps récurrente, ainsi qu'on va le faire voir.

Considérons d'abord la fraction rationnelle

dans laquelle «, A désignent deux constantes réelles ou imaginaires, et m un nombre entier. Elle pourra se mettre sous la forme