PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE XII
et généralement
(9) a'"«« a'«-'«„iH -^ a"'-^- Un-i— . . .± an-m — o.
Il est essentiel de remarquer que l'équation (9) a lieu seulement pour des valeurs entières de n égales ou supérieures à m, et qu'elle doit être remplacée, lorsqu'on suppose n<^m, par l'une des formules (8). De plus, comme l'équation (9), étant linéaire par rapport aux constantes
donnera pour la première de ces constantes une fonction linéaire de toutes les autres, il en résulte que, dans la série
considérée à partir du terme a'"a7,„, le coefficient d'une puissance quelconque de x s'exprimera en fonction linéaire des coelFicients des puissances inférieures pris consécutivement et en nombre égal à m. Cette série sera donc l'une de celles que nous avons nommées rècurrentes.
Parmi les diverses formules particulières qu'on peut déduire de l'équation (3), il est bon de remarquer celles qui correspondent aux deux suppositions m = i, m = 2. On trouve, dans la première hypothèse,
et, dans la seconde,
(12) ■=. ~ -\~ 1 --X -\- Z —rX^ -\- (s, — x^ -^
{x — ay- a^ a^ a^ ^ a"
Les deux formules précédentes, dont la première détermine la somme d'une progression géométrique, subsistent, ainsi que l'équation (3), toutes les fois que le module de x est inférieur au module de a.
Lorsque dans l'équation (12) on fait en même temps
A =: I, a = I, on obtient la suivante
qui a pour second membre la somme de la série (2) (§ I), et suppose le module de 00 inférieur à l'unité.
Considérons maintenant une fraction rationnelle quelconque
f{x), Y{x) étant deux fonctions entières de la variable x. Représentons par tty b, c, ... les diverses racines de l'équation
par m' le nombre des racines égales à a, par m" le nombre des racines égales à b, par m!" le nombre des racines égales à c, . . ., et par k le coefficient de la plus haute puissance de x dans le polynôme F(a7), en sorte qu'on ait
La méthode exposée dans le Chapitre précédent fournira, pour la dé-
fix) composition de la fraction rationnelle ^t — ( ^^ fractions simples, une
équation de la forme
Al
— by"
Ct
I G Cl
{x — c)'" {x — cy-^
A, A,, ..., B, B,, ..., C, C,, ..., etc., désignant des constantes détermi-
