PREMIÈRE PARTIE.- CHAPITRE XÏI

nées, et R une fonction entière de x qui s'évanouira lorsque le degré du polynôme f{x) sera inférieur à celui du polynôme Y{x). Cela posé, concevons que le module de la variable x soit inférieur aux modules des diverses racines «, 6, c, . . ., et par conséquent au plus petit de ces modules. On pourra développer chacune des fractions simples que renferme le second membre de l'équation (17) en une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de la variable a;; puis, en ajoutant les développements ainsi formés au polynôme R, on obtiendra une nouvelle série convergente toujours ordonnée suivant les puissances ascendantes de x, et dont la somme sera équivalente à

la fraction rationnelle ^7 — :• Soit

(18) «0, «1^, «2^% ..., OnX'\ ...

la nouvelle série dont il est ici question. La formule

subsistera toutes les fois que cette nouvelle série sera convergente, c'est-à-dire toutes les fois que le module de la variable x sera inférieur au plus petit des nombres qui servent de modules aux racines de l'équation (i5). J'ajoute que la série (18) sera toujours une série récurrente. C'est ce que l'on prouvera aisément ainsi qu'il suit.

Désignons par m la somme des nombres entiers m', m", ni", . . ., ou, ce qui revient au même, le degré du polynôme ^{oc), et faisons, en conséquence,

(20) F(-27) = /i^'"+ lx"'-^-[- . . . + px + q,

k, l, ..., /7, q représentant des constantes réelles ou imaginaires. L'équation (19) deviendra

(21) '. — ■ ,„ , =::ao-i- a.^+ a,^2 +

kx"'-\- Ix""-^-^. . . + px + q 0 ' 1 2

Après l'avoir mise sous la forme

(22) f{x) = {q-\- px-h...-^ lx"'-^ + kx'"){a^-^a^x 4- a^x^-i-...).

on en tirera, en développant le second membre comme on l'a fait pour l'équation (6),

lf{x) = qa^+{qai-{-pa^)x+...

(28) ', -^{qa,n-\-pa,n-.i-^. . .+ lai-\- kaQ)x"'-\-. ..

Cette dernière formule devant subsister tant que le module de la variable X est inférieur aux modules des const.antes a, h, c, . .., on démontrera, par des raisonnements semblables à ceux dont nous avons fait usage pour établir le théorème VI du Chapitre VI (§ IV), que les coefficients des puissances semblables de x dans les deux membres sont nécessairement égaux entre eux. Il en résulte : i"* que les coefficients des diverses puissances de x dans les différents termes du polynôme/(^c) sont respectivement égaux aux coefficients des mêmes puissances dans la série dont la somme constitue le second membre de l'équation (28); 2'' que dans cette série les coefficients des puissances dont l'exposant surpasse le degré du polynôme /(^) se réduisent à zéro. D'ailleurs, si l'on considère un terme de la série dans lequel l'exposant n de la variable x surpasse le degré du polynôme f{oc), et soit en même temps égal ou supérieur à m, ce terme sera de la forme

Donc, toutes les fois que la valeur de n, étant supérieure au degré du polynôme f{x), sera de plus égale ou supérieure au degré m du polynôme F(a:), les coefficients

se trouveront assujettis à l'équation linéaire

( 2/4) gan + pa^-i + . . . + lan-m+\ + ka'n-,,, — o;

et par suite, pour une semblable valeur de'/2, le coefficient a^ de la puissance xf" s'exprimera en fonction linéaire de ceux des puissances inférieures prises consécutivement au nombre de m. La série (18)