PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE IL

Démonstration. — Supposons d'abord que la quantité k, nécessairement positive, ait une valeur finie, et désignons par £ un nombre aussi petit que l'on voudra. Puisque des valeurs croissantes de x font converger le rapport

vers la limite k, on pourra donner au nombre h une valeur assez considérable pour que, x étant égal ou supérieur à h, le rapport dont il s'agit soit constamment compris entre les limites

Cela posé, si l'on désigne par n un nombre entier quelconque, chacune des quantités

./•(^+0 /{h + 2) fjli + n)

J\li) ' /(A 4-1)' ■"' /(A + «-i)'

et, par suite, leur moyenne géométrique, savoir

se trouvera comprise entre les limites k — z, k -h i. On aura donc

fUK

k -+- ce,

OL étant une quantité comprise entre les limites — z, -h z. Soit maintenant

L'équation précédente deviendra

et l'on en conclura

(5) [/(^)r=[/(/or(^ + «)'

De plus, pour faire croître indéfiniment la valeur de œ, il suffira de faire croître indéfiniment le nombre entier /z, sans changer la valeur de h. Supposons, en conséquence, que dans l'équation (5) on considère h comme une quantité constante, et x comme une quantité variable qui converge vers la limite ce. Les quantités

[/(/or, i-|,

renfermées dans le second membre, convergeront vers la limite i, et le second membre lui-même vers une limite de la forme

a étant toujours compris entre — s et + £, Par suite, l'expression

aura pour limite une quantité comprise entre k — i et k -\- i. Cette conclusion devant subsister, quelle que soit la petitesse du nombre £, il en résulte que la limite en question sera précisément la quantité k. I']n d'autres termes, on aura

(6) ]im[/{a^)f=k = Wm-y^^^'^'

Supposons, en second lieu, la quantité k infinie, c'est-à-dire, puisque cette quantité est positive, ^ = oo. En désignant alors par H un nombre aussi grand que l'on voudra, on pourra toujours attribuer au nombre A une valeur assez considérable pour que, œ étant égal ou supérieur à h, le rapport

qui converge vers la limite ce, devienne constamment supérieur à H; et, en raisonnant comme ci-dessus, on établira la formule