PREMIÈRE PARTIE. CHAPITRE XII
sera donc l'une de celles que l'on nomme récurrentes. Son échelle de relation se composera des constantes
respectivement égales aux coefficients des diverses puissances de x dans le polynôme ^{x).
Parmi les séries qui représentent les développements des fractions renfermées dans le second membre de la formule (17), et qui sont toutes convergentes dans le cas où le module de la variable x reste inférieur aux modules des diverses racines de l'équation (i5), l'une au moins deviendrait divergente si le module de la variable venait à surpasser celui de quelque racine. Par suite, la série (18), toujours convergente dans le premier cas, sera divergente dans le second. D'autre part, si l'on fait croître indéfiniment le nombre entier n, et si l'on désigne par p„ le module du coefficient a^ dans la série (18), cette série sera convergente ou divergente {voir le § I) suivant que le module de x sera inférieur ou supérieur à la plus petite des limites
de {o,^) " . Comme les deux règles de convergence que nous venons d'énoncer doivent nécessairement s'accorder entre elles, on peut conclure que le plus petit des modules qui correspondent aux racines de
l'équation (i 5) est précisément égal à la plus petite des limites de l'ex-
t pression ( p„ ) " .
Lorsque les deux fonctions/(^), ^{x) sont réelles, le coefficient a^
l'est aussi, et son module p„ ne diffère pas de sa valeur numérique. Si
dans la même hypothèse l'équation Y(x) = o n'a que des racines
réelles, la racine qui aura la plus petite valeur numérique sera,
d'après ce qu'on vient de dire, égale (au signe près) à la plus petite
des limites de (p„) ". Enfin, si le rapport -^ converge vers une
limite fixe, on pourra la substituer (Chap. II, § III, théorème II) à
la limite cherchée de l'expression (p) ". Cette remarque conduit à la
règle qu'a donnée Daniel Bernoulli pour déterminer numériquement
OEiwrcs de C. — S. U, t. ni. l\2
la plus petite (abstraction faite du signe) de toutes les quantités qui représentent les racines supposées réelles d'une équation algébrique.
§ 11 1. — Sommation des séries récurrentes, et fixation de leurs termes généraux.
Lorsqu'une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de la variable x est à la fois convergente et récurrente, elle a toujours pour somme une fraction rationnelle. En effet, soit
(i) ao, a^x, a^x^-, ..., GnX", ...
une semblable série, et supposons que, pour des valeurs de n supérieures a une certaine limite, le coefficient a^ de la puissance x" soit déterminé, en fonction linéaire des coefficients des puissances inférieures pris en nombre égal à n, par une équation de la forme
en sorte que les constantes
forment l'échelle de relation de la série. Si l'on multiplie la somme de cette série, savoir
«oH- «i-r 4- «2^' + • • •
par le polynôme
kx'^^-^- Ix"^-^ -\- . . .-\- px -\- q,
le produit obtenu sera la somme d'une nouvelle série dans laquelle le coefficient de x" , calculé comme dans le Chapitre VI (§ IV, théorème V), s'évanouira pour des valeurs de n supérieures à la limite assignée. En d'autres termes, le produit dont il est question sera un nouveau polynôme d'un degré marqué par cette limite. Si l'on désigne ce nouveau polynôme par/(^), on aura
(3) f{-^) — {kx''^-\- /j7'"-' -\-. . .-t- px -i- q){ao-i- aiX -]- a^x- -]- . . .)
