PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE XII

et, par suite,

kx"'+ lx"'-^-T-. . .-T- px

Donc toute série qui, ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de la variable x, est à la fois convergente et récurrente, a pour somme une fraction rationnelle, dont le dénominateur est un polynôme dans lequel les puissances successives de x ont pour coefficients les différents termes de l'échelle de relation de la série.

Lorsque pour faire connaître une série récurrente on donne seulement ses premiers termes et l'échelle de relation qui sert à déduire des premiers termes tous ceux qui les suivent, on détermine sans peine, à l'aide de la méthode que nous venons d'indiquer, la fraction rationnelle qui représente la somme de la série dans le cas où elle demeure convergente. Cette fraction rationnelle étant calculée, on pourra lui substituer une somme de fractions simples augmentée, s'il y a lieu, d'une fonction entière de la variable x\ et, si l'on cherche ensuite les séries récurrentes qui, pour des valeurs de x convenablement choisies, expriment les développements des fractions simples dont il s'agit, on obtiendra, en ajoutant les termes généraux de ces mêmes séries, le terme général de la série proposée.